Dieser Artikel enthält mathematische Symbole. Diese werden in der Tabelle mit mathematischen Symbolen erläutert.

Beim Zählen benutzt man Kardinalzahlen, um die "Größe" von Mengen zu beschreiben: "Eins, zwei, drei, ... Elemente". Sprachlich benutzt man dazu bestimmte Zahlwörter.

Der Mathematiker Georg Cantor beschrieb, wie man dieses Konzept innerhalb der Mengenlehre auf unendliche Mengen verallgemeinern kann und wie man mit unendlichen Kardinalzahlen rechnen kann.

Eine natürliche Zahl kann für zwei Zwecke benutzt werden: Zum einen, um die Anzahl der Elemente einer (endlichen) Menge zu beschreiben, und zum anderen, um die Position eines Elements in einer geordneten Menge anzugeben. Während diese beiden Konzepte für endliche Mengen übereinstimmen, muss man sie für unendliche Mengen unterscheiden. Die Beschreibung der Position in einer geordneten Menge führt zum Begriff der Ordinalzahl, während die Größenangabe zu Kardinalzahlen führt, die hier beschrieben sind.

Definition

Wie im Artikel Mächtigkeit dargestellt, heißen zwei Mengen X und Y gleichmächtig, wenn es eine Bijektion von X nach Y gibt, man schreibt dann |X| = |Y|. Die Gleichmächtigkeit von Mengen ist eine Äquivalenzrelation, und man definiert:

Die Äquivalenzklasse |X| der Menge X bezüglich der Relation der Gleichmächtigkeit nennt man die Kardinalzahl |X|.

Indem man zeigt, dass jede Menge gleichmächtig zu einer Ordinalzahl ist (dies folgt aus dem Wohlordnungssatz), kann man die Kardinalzahl |A| mit der kleinsten zu A gleichmächtigen Ordinalzahl gleichsetzen.

Motivation

Anschaulich dienen Kardinalzahlen dazu, die "Größe" von Mengen zu vergleichen, ohne sich auf das Aussehen ihrer Elemente beziehen zu müssen. Für endliche Mengen ist das leicht: Man zählt einfach die Anzahl der Elemente. Um unendliche Mengen zu vergleichen, benötigt man etwas mehr Arbeit, um ihre Mächtigkeit zu charakterisieren.

Im folgenden werden die Begriffe höchstens gleichmächtig und weniger mächtig benötigt:

Wenn es eine Bijektion f von A auf eine Teilmenge von B gibt, dann heißt A höchstens gleichmächtig zu B. Man schreibt dann |A| <= |B|.

Wenn es eine Bijektion f von A auf eine Teilmenge von B gibt, aber keine Bijektion von A nach B existiert, dann heißt A weniger mächtig als B und B mächtiger als A. Man schreibt dann |A| < |B|.

Diese Begriffe werden im Artikel Mächtigkeit näher erläutert.

Zum Beispiel gilt für endliche Mengen, dass echte Teilmengen weniger mächtig sind als die gesamte Menge, dagegen wird im Artikel Hilberts Hotel an einem Beispiel veranschaulicht, dass unendliche Mengen echte Teilmengen haben, die zu ihnen gleichmächtig sind.

Bei der Untersuchung dieser "großen" Mengen stellt sich die Frage, ob gleichmächtige geordnete Mengen notwendig "zusammenpassende" Ordnungen haben. Es stellt sich heraus, dass das für unendliche Mengen nicht so ist, z.B. unterscheidet sich die gewöhnliche Ordnung der natürlichen Zahlen N = {1 < 2 < 3 < ...} von der geordneten Menge A := {1 < 2 < 3 < ... < 1'}. Die Menge A ist gleichmächtig zu N (bilde 1 auf 2, 2 auf 3, ... 1' auf 1 ab), aber in A gibt es im Gegensatz zu N ein größtes Element. Berücksichtigt man die Ordnung von Mengen, kommt man zu Ordinalzahlen. (Die Ordinalzahl von N heißt ? und die von A heißt ?+1.)

Eigenschaften

Im Artikel Mächtigkeit wird gezeigt, dass die Kardinalzahlen total geordnet sind.

Die Menge X und die Kardinalzahl |X| heißen unendlich, wenn X eine echte Teilmenge Y hat mit |X| = |Y|. Eine nicht unendliche Menge bzw. Kardinalzahl heißt endlich.

Man kann zeigen, dass die endlichen Kardinalzahlen genau den natürlichen Zahlen entsprechen, d.h. eine Menge X ist genau dann endlich, wenn |X| = |n| = n für eine natürliche Zahl n (die Schreibweise |n| wird im Artikel Ordinalzahl motiviert, indem n als n-elementige Menge aufgefasst wird). Man kann auch zeigen, dass die Kardinalzahl (aleph₀; s. Hebräisches Alphabet) der Menge N die kleinste unendliche Kardinalzahl ist. Die nächstgrößere Kardinalzahl ist (unter der Annahme der Kontinuumshypothese ist ). Für jede Ordinalzahl a gibt es eine a-te Kardinalzahl , und jede Kardinalzahl wird so erreicht. Da die Ordinalzahlen eine echte Klasse bilden, ist auch die Klasse der Kardinalzahlen echt.

Man beachte, dass ohne das Auswahlaxiom Mengen existieren, die nicht wohlgeordnet werden können, und die im Abschnitt Definition angegebene Gleichsetzung von Kardinalzahlen mit bestimmten Ordinalzahlen nicht funktioniert. Man kann Kardinalzahlen dann trotzdem als Äquivalenzklassen gleichmächtiger Mengen definieren, diese sind dann aber nur noch halbgeordnet, da verschiedene Kardinalzahlen nicht mehr vergleichbar sein müssen (diese Forderung ist äquivalent zum Auswahlaxiom). Man kann aber auch die Mächtigkeit von Mengen untersuchen, ohne Kardinalzahlen überhaupt zu benutzen.

Rechenoperationen

Sind X und Y disjunkte Mengen, dann definiert man

• |X| + |Y| := |X vereinigt mit Y|
• |X| · |Y| := |X × Y|
• |X|^|Y| := |X^Y|.

Dabei ist X × Y ein kartesisches Produkt und X^Y die Menge aller Funktionen von Y nach X.

Man kann zeigen, dass diese Verknüpfungen für natürliche Zahlen mit den üblichen Rechenoperationen übereinstimmen. Darüberhinaus gilt für alle Mengen X, Y, Z:

• Addition und Multiplikation sind assoziativ und kommutativ.
• Addition und Multiplikation erfüllen das Distributivgesetz.
• Es gelten die Potenzgesetze |X|^{|Y| + |Z|} = |X|^|Y| · |X|^|Z| und |X|^{|Y| · |Z|} = (|X|^|Y|)^|Z|.

Die Addition und Multiplikation unendlicher Kardinalzahlen ist (unter Voraussetzung des Auswahlaxioms) leicht: Ist X oder Y unendlich und beide Mengen nichtleer, dann gilt

|X| + |Y| = |X| · |Y| = max{|X|, |Y|}

Keine Kardinalzahl außer 0 hat ein Negatives (ein additiv inverses Element), also bilden die Kardinalzahlen mit der Addition keine Gruppe, und erst recht keinen Ring.

Es ist 2^|X| gleich der Mächtigkeit der Potenzmenge P(X) von X und Cantors Diagonalbeweis (ausgeführt im Artikel Mächtigkeit, Abschnitt Größte Mächtigkeit) zeigt, dass 2^|X| > |X| für jede Menge X ist. Daraus folgt, dass es keine größte Kardinalzahl gibt.

Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) besagt, dass für jede unendliche Menge X zwischen den Kardinalzahlen |X| und 2^|X| keine weiteren Kardinalzahlen liegen. Die einfache Kontinuumshypothese (CH) macht diese Behauptung für den Fall X = N. Sie ist unabhängig von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zusammen mit dem Auswahlaxiom (ZFC).