Mathe Genie Lexikon Jordansche Normalform Erklärung Bedeutung und Formel

Jordansche Normalform

Eine quadratische Matrix A deren Charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt läßt sich durch eine Ähnlichkeitstransformation auf folgende Blockdiagonalform bringen, die als Jordansche Normalform bezeichnet wird:

$J= \begin{pmatrix} J_1 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & ... & J_k \end{pmatrix} = Q^{-1}AQ$

Die Matrix Q ist die Matrix der Eigenvektoren, d.h. die Eigenvektoren werden spaltenweise als Matrix geschrieben, $Q - 1$ ist die inverse Matrix von Q, sie wird berechnet über die erweiterte Matrix und dem Gaußschen Eliminationsverfahren.

Die J_i sind die Jordan-Blöcke. Diese haben folgende Form:

$J_i= \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & ... & 0 \\ &&...\\ &&...& \lambda_i & 1 \\ 0 & ... & & 0 & \lambda_i \end{pmatrix}$

Die ?_i sind dabei die Eigenwerte von A. Zu jedem Eigenwert ?_i gibt es seiner geometrischen Vielfachheit entsprechend viele Jordan-Blöcke. Die Gesamtdimension aller Jordan-Blöcke eines Eigenwertes entspricht seiner algebraischen Vielfachheit, d.h. seiner Vielfachheit im charakteristischen Polynom.

Systeme linearer Differentialgleichungen

Die JNF ist eng verknüpft mit linearen Differentialgleichungen y'=Ay in einer Dimension n, d.h. A ist eine nxn-Matrix. Diese hat die formale Lösung durch Potenzreihenansatz $y(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{A^kx^k}{k!}y_0$ mit Anfangswert y(0)=y₀. Gilt für irgendeine Potenz m (welche nicht größer als n sein kann) $A m y 0 = 0$ , so hat das System eine polynomiale Lösung vom Grad kleiner m. Man kann jetzt die Nullunterräume der Matrixpotenzen bestimmen, für diese gilt $\ker A\subset \ker A^2\subset\dots\subset\ker A^n$ . Bestimmt man nun eine dieser Schachtelfolge von Unterräumen angepasste Basis von $\ker A^n$ , so erhält man die Jordan-Blöcke zum Eigenwert ?=0. Ist zum Beispiel A^m+1v=0, aber A^mv von Null verschieden, so sind v,Av,...,A^mv linear unabhängig und der Schachtelfolge angepasst.

Für den allgemeinen Fall macht man den Ansatz y(x)=exp(?x)u(x), es ergibt sich für u die Differentialgleichung u'=(A-?I)u. Damit der Nullraum $\ker (A-\lambda I)^n$ nichttrivial ist, muss ? Eigenwert, d.h. Nullstelle des charakteristischen Polynoms, von A sein. Die Nullräume unterschiedlicher Eigenwerte sind transversal zueinander, so dass eine gemeinsame, den jeweiligen Nullräumen angepasste Basis des gesamten n-dimansionalen Raumes gefunden werden kann. Für jedes Basiselement ergibt sich eine Lösung y(x)=exp(?x)u(x) mit polynomialem u, und jede Lösung kann aus diesen zusammengesetzt werden (Superpositionsprinzip). Nach geeignetem Sortieren der angepassten Basis und Transformation von A in diese Basis ergibt sich die Jordan-Normalform.

Siehe auch: Diagonalmatrix

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