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Jordan-Kurven sind nach Camille Jordan benannte mathematische
Kurven.
Definition
Eine Jordan-Kurve im euklidischen Raum
Rn (z.B. einer Ebene für n = 2) ist eine einfach geschlossene Kurve.
Eine andere Definition ist: Das Bild des Kreises S1 unter einem Homöomorphismus heißt Jordan-Kurve.
Sei der Weg ? gegeben mit ?(t) = (x1(t),
..., xn(t)) und ? ? t ? ?. Gilt ?(t1) ? ?(t2) für alle t1,
t2 im halboffenen Intervall [?, ?) und
ist ?(?) = ?(?), dann heißt ? ein einfach geschlossener Weg oder Jordan-Weg. Eine Kurve, die durch
einen Jordan-Weg parametrisiert werden kann, ist eine Jordan-Kurve.
Ein injektive Weg ? (der dann nicht geschlossen sein kann) wird manchmal als offener Jordan-Weg bezeichnet. Eine
Kurve, die durch einen injektiven Weg parametrisiert werden kann, heißt einfache Kurve, manchmal auch offene
Jordan-Kurve.
Sonderfälle
Ist C eine Jordan-Kurve der Ebene, sind die Koordinatenfunktionen x = x(t) und y = y(t) in [?, ?] stetig differenzierbar und gilt
für alle t in [?, ?], dann heißt C eine glatte Kurve. Anschaulich hat eine glatte Kurve keine
Knickstellen.
Für eine stetig differenzierbare Jordankurve C in anderen Räumen gelten entsprechende Formeln: C heißt glatt, wenn die
euklidische Norm der Ableitung ungleich 0 ist.
Beispiele
Der Einheitskreis mit der Parametrisierung ?(t) = (cos(t),
sin(t)), t in [0, 2?] ist eine glatte Jordan-Kurve.
Der Weg ?(t) = (cos(t), sin(t)) mit t in [0, 3?] liefert auch den Einheitskreis, ist aber in dieser Parametrisierung kein
Jordan-Weg, da z.B. ?(1) = ?(2?+1).
Das Einheitsquadrat ist eine Jordan-Kurve, die aber mit keiner Parametrisierung glatt ist.
Die Kurve ?(t) = (t, 0) mit t in [0, 1] ist eine offene Jordankurve.
Keine Parametrisierung der Ziffern 6 oder 8 in der Ebene ist eine Jordankurve.
siehe auch:
- Jordanscher Kurvensatz
- Kurve
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