Mathe Genie Lexikon Jacobi-Matrix Erklärung Bedeutung und Formel

Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix (auch Funktionalmatrix) dient zur näherungsweisen Berechnung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.

Sie ist die m × n-Matrix sämtlicher erster partiellen Ableitungen einer differenzierbaren Funktion

$f\colon {\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^m}$

Als lineare Abbildung stellt sie die beste lineare Approximation einer differenzierbaren Funktion in einem gegebenen Punkt dar (siehe auch Taylor-Formel), und bildet damit die Matrix-Darstellung der 1.Ableitung dieser Funktion. Benannt wurde sie nach Carl Gustav Jacob Jacobi. Die Determinante der Jacobi-Matrix spielt z.B. bei Transformationen von Integralen eine wichtige Rolle und wird meist Funktionaldeterminante genannt.

Allgemein lautet die Jakobi-Matrix:

$((\partial_k f_s(x_o))_{s,k}$

für s=0,...,m-1, k=0,...,n-1.

Bei n = m = 3:

$f(x, y, z) = \begin{pmatrix}f_1(x, y, z) \\ f_2(x, y, z) \\ f_3(x, y, z) \end{pmatrix}$

lautet sie:

$J = \frac{\partial f}{\partial (x, y, z)} = \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} & \frac{\partial f_1}{\partial z} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} & \frac{\partial f_2}{\partial z} \\ \frac{\partial f_3}{\partial x} & \frac{\partial f_3}{\partial y} & \frac{\partial f_3}{\partial z} \end{pmatrix}$

und kann, wenn man sie für einen Punkt p ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von f in der Nähe von p verwendet werden:

$f(x, y, z) \approx f(p_x, p_y, p_z) + J_p \cdot \begin{pmatrix} x-p_x \\ y-p_y \\ z-p_z \end{pmatrix}$

Für m = 1 entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradient von f. Ein Beispiel für eine Rechnung mit der Jacobi-Matrix ist die Transformation in Polarkoordinaten

Siehe auch: Differentialrechnung, Matrixmultiplikation

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