Mathe Genie Lexikon Irrationale Zahl Erklärung Bedeutung und Formel

Irrationale Zahl

Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist. Ratio ist dabei in der Bedeutung Verhältnis gebraucht, nicht in der Bedeutung Vernunft. Eine irrationale Zahl ist also nicht "unvernünftig", wie der Alltagsgebrauch des Wortes irrational nahelegen würde.

Definition
Eine reelle Zahl heißt irrational, wenn sie nicht als Bruch zweier natürlicher Zahlen dargestellt werden kann.(nicht als $\frac{a}{b}$ mit $a\in\mathbb{Z}$ und $b\in \mathbb{N}$ ).

Im Gegensatz zu rationalen Zahlen, die als endliche oder periodische Dezimalzahlen dargestellt werden können, sind irrationale Zahlen solche, deren Dezimaldarstellung nicht abbricht und nicht periodisch ist.

Es gibt zwei Typen von Irrationalzahlen:

Algebraische Zahlen (etwa Wurzeln, z.B. $\sqrt{2}$ , $1+\sqrt[3]{5}$ )
Transzendente Zahlen (die Kreiszahl ? = 3,14159..., die Eulersche Zahl e = 2,71828...)

Den Begriff der irrationalen Zahl führte Georg Cantor ein.

Zahlen, deren Irrationalität geklärt ist

Euklid bewies die Irrationalität von $\sqrt{2}$ (zum Beweis siehe hier)

Im Jahr 1979 bewies Apery die Irrationalität von

$\zeta(3)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}$

Zahlen, deren Irrationalität ungeklärt ist

Es ist noch unbekannt, ob eine der Zahlen ? + e oder ? - e irrational ist. Es ist sogar für kein einziges Paar ganzer, von Null verschiedener Zahlen m und n bekannt, ob m? + ne irrational ist. Es ist ebenfalls unbekannt, ob 2^e, ?^e, ?^?2 oder die Eulersche Konstante ? = 0,57721... irrational sind.

Zahlen, deren Irrationalität geklärt ist

Zahlen, deren Irrationalität ungeklärt ist

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