In der Mathematik treten inverse Elemente bei der Untersuchung von algebraischen Strukturen mit zweistelligen Verknüpfungen auf.

Definition

Ist A eine Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung * und einem neutralen Element e, dann ist ein zu a aus A linksinverses Element ein Element b in A mit

b*a = e.

Ein zu a rechtsinverses Element ist ein b in A mit

a*b = e.

Ein zu a (beidseitig) inverses Element ist ein b in A mit

a*b = b*a = e.

Ist die Verknüpfung assoziativ und hat a aus A ein Linksinverses und ein Rechtsinverses, dann stimmen diese überein und a hat ein eindeutig bestimmtes Inverses, das meist als a^-1 geschrieben wird.

Beispiele

Additiv Inverses

In den bekannten Zahlenmengen (natürliche Zahlen, rationale Zahlen usw.) hat man eine Addition mit neutralem Element 0. Das additiv Inverse einer Zahl a ist die Zahl, die zu a addiert 0 ergibt, also ihr Negatives -a.

Zum Beispiel ist -7 das additiv Inverse von 7, denn 7 + (-7) = 0 = (-7) + 7. Das Negative von -7 ist 7, aus demselben Grund, also ist -(-7) = 7. Das gilt allgemein.

Das additiv Inverse erhält man durch Multiplikation mit -1, d.h. -a = -1·a.

In Zahlenmengen mit additiv Inversen ist die Subtraktion stets ausführbar. Solche Mengen sind z.B.

• ganze Zahlen
• rationale Zahlen
• reelle Zahlen
• komplexe Zahlen
• p-adische Zahlen
• hyperreelle Zahlen

In anderen Zahlenmengen hat nicht jedes Element ein additiv Inverses. Solche sind z.B.

• natürliche Zahlen (mit 0, sonst gäbe es nicht einmal ein neutrales Element)
• Kardinalzahlen
• Ordinalzahlen

Man kann die ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen konstruieren, indem man formal die Negativen hinzunimmt und passende Rechenregeln definiert. So gesehen, hat jede natürliche Zahl ein Negatives. Da dieses jedoch (außer für 0) keine natürliche Zahl ist, ist die Menge der natürlichen Zahlen nicht abgeschlossen unter der Negation.

Multiplikativ Inverses

In den oben angesprochenen Zahlenmengen hat man auch eine Multiplikation mit neutralem Element 1. Das multiplikativ Inverse einer Zahl a ist die Zahl, die mit a multipliziert 1 ergibt. Es ist also der Kehrwert von a.

Zum Beispiel ist der Kehrwert von 7 die rationale Zahl 1/7; in den ganzen Zahlen hat 7 jedoch kein multiplikativ Inverses.

Ist allgemein ein Ring R gegeben, dann heißen die Elemente, die multiplikativ Inverse haben, Einheiten des Rings. In der Theorie der Teilbarkeit unterscheidet man meist nicht zwischen Ringelementen, die sich multiplikativ um eine Einheit unterscheiden (d.h. a = eb mit einer Einheit e).

Umkehrfunktion

Betrachte die Menge A^A aller Funktionen von einer Menge A nach A. Auf dieser Menge hat man die Komposition (Hintereinanderausführung) als Verknüpfung, definiert durch (f o g)(a) := f(g(a)). Die Komposition ist assoziativ und hat die identische Abbildung id_A: A -> A als neutrales Element.

Ist nun eine Funktion f: A -> A bijektiv, dann ist die Umkehrfunktion f^-1: A -> A das inverse Element von f in A^A.

Man verallgemeinert diesen Begriff auf bijektive Funktionen f: A -> B und erhält eine Umkehrfunktion f^-1: B -> A mit f o f^-1 = id_A und f^-1 o f = id_B.

Ist A ein Körper wie z.B. die reellen Zahlen, dann darf man die Umkehrfunktion f^-1 nicht mit dem Kehrwert 1/f verwechseln! Die Umkehrfunktion ist nur definiert, wenn f bijektiv ist, und der Kehrwert ist nur definiert, wenn f keine Nullstellen hat. Selbst wenn f eine Teilmenge von R\{0} bijektiv auf sich abbildet, stimmen Umkehrfunktion und Kehrwert im allgemeinen nicht überein.

Zum Beispiel hat die Funktion f: R₊ -> R₊, f(x) = x² eine Umkehrfunktion f^-1(x) = ?x und einen Kehrwert (1/f)(x) = 1/x², die jedoch nicht übereinstimmen. (Dabei ist R₊ = (0, ?) die Menge der positiven reellen Zahlen.)

Eigenschaften

Das Inverse des Inversen ist das ursprüngliche Element: (a^-1)^-1 = a.

Für eine allgemeine algebraische Struktur (A, *) mit neutralem Element kann es sein, dass ein Element mehrere Linksinverse hat, oder mehrere Rechtsinverse, oder sogar mehrere Linksinverse und mehrere Rechtsinverse. Ist jedoch die Verknüpfung * assoziativ, dann gilt: Hat x sowohl ein Linksinverses als auch ein Rechtsinverses, dann stimmen diese überein und x hat genau ein (beidseitiges) Inverses.

Ein Homomorphismus zwischen Ringen oder Körpern bildet Inverse stets auf Inverse ab, d.h.

f(x^-1) = (f(x))^-1.

(Man beachte wieder den Unterschied zu f^-1(x), dem Urbild von x!)