Mathe Genie Lexikon Integralkriterium Erklärung Bedeutung und Formel

Integralkriterium

Das Integralkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also ein Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergent oder divergent ist.

Formulierung

Es sei f(x) eine monoton fallende Funktion, die auf dem Intervall $[p,\infty]$ mit einer ganzen Zahl p definiert ist und nur positive Werte annimmt.

Die Reihe $\sum_{n=p}^\infty f(n)$ konvergiert genau dann, wenn das Integral $\int_p^\infty f(x) dx$ existiert, d.h. einen endlichen Wert annimmt.

Kurz und präzise kann man formulieren:

Sei $p \in \mathbb{Z}, f: [p, \infty) \rightarrow [0, \infty)$ , dann

$f \ \mathrm{Riemann-integrierbar} \Leftrightarrow \sum_{n=p}^\infty f(n) \ \mathrm{konvergent}$

sowie, falls das zutrifft,

$\sum_{n=p+1}^\infty f(n) < \int_p^\infty f(x) dx < \sum_{n=p}^\infty f(n).$

Veranschaulichung

Das Integralkriterium ist schon durch die Anschauung zugänglich: Gerade die letzte Zeile ähnelt einer populären Begründung des Begriffs des Riemann-Integrals mithilfe von Ober- und Untersummen.

Weil nach Voraussetzung ja f monoton fällt, ist auf jedem Intervall [q,q+1] mit einer ganzen Zahl q f(q) der größte und f(q+1) der kleinste Flächeninhalt. Weil das Intervall die Breite 1 hat, ist der Flächeninhalt unter f immer kleiner als $f(q) \cdot 1$ und größer als $f(q+1) \cdot 1$ . Wenn nun das Integral oder die Reihe konvergiert, so muss auch der andere Grenzwert konvergieren.

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