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Eine Gleichung wird in der Mathematik Integralgleichung genannt, wenn darin die unbekannte Funktion in einem Integral vorkommt.
Eine lineare Integralgleichung ist eine Gleichung für eine unbekannte Funktion
u(x) und hat folgende Form:
Hier ist ? eine beliebige Zahl, f(x) eine gegenene
Funktion, und ? ein Gebiet im euklidischen Raum. Die ebenfalls gegenen Funktion k(x,y) wird Kern genannt. Nichtlineare Gleichungen können noch
komplizierter sein, z.B. kann die Funktion u(x) im Kern vorkommen k(x,y,u(x)).
Linear Integralgleichungen kann man einteilen in
- Integralgleichungen 1. Art wenn ? = 0
- Integralgleichungen 2. Art wenn
Diese Einteilung erscheint auf den ersten Blick künstlich, aber der tiefere Grund dafür ist, dass Gleichungen 1. Art und 2.
Art völlig verschiende Eigenschaften haben. Die wichtigste davon ist, dass unter schwachen Voraussetzungen an den Kern,
Integralgleichungen 2. Art für fast alle Werte von ? stetig invertiert werden können, während
Integralgleichungen 1. Art (unter denselben Vorausetzungen an den Kern) keine stetige Inverse besitzten.
Eine weitere Einteilung beruht auf Eigenschaften der Kernfunktion k(x,y). Hier gibt es
Fredholm-Integralgleichungen, Volterra-Integralgleichungen, schwach singuläre und stark singuläre
Integralgleichungen.
Wesentlich für die Theorie der (nicht stark singulären) Integralgleichungen ist die Theorie der kompakten Operatoren. Das obige Integral definiert für hinreichend glatte Kernfunktionen k(x,y) einen kompakten
Operator. Die Theorie dazu ähnelt in gewisser Weise der von linearen Gleichungen im Endlichdimensionalen. Kompakte Operatoren
haben eine diskrete Anzahl von Eigenwerten.
Integraloperatoren treten oft (aber nicht ausschließlich) bei der Lösung von Differentialgleichungen auf. Zum Beispiel bei
Sturm-Liouville-Probleme, oder bei partielllen Differentialgleichungen in Form der Greenschen Funktion.
Falls in der Gleichung zusätzlich noch eine Ableitung der Funktion vorkommt,
spricht man von Integro-Differentialgleichungen
Siehe auch: Funktionalanalysis.
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