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Algebraische Struktur

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In der abstrakten Algebra ist eine Algebraische Struktur oder Algebra eine Menge mit einer oder mehreren Verknüpfungen, die bestimmte Axiome erfüllen. Falls es keine Missverständnisse hervorruft, wird normalerweise die algebraische Struktur mit der Menge identifiziert. Zum Beispiel wird die Gruppe (G,*,1) üblicherweise einfach als Gruppe G bezeichnet.

Definition

Seien m, n aus N₀ (natürliche Zahlen mit 0) und eine nichtleere Menge A gegeben. Falls in A innere Verknüpfungen $\circ_1, \dots, \circ_m$ und äußere Verknüpfungen $\bullet_1, \dots, \bullet_n$ mit einem Operatorenbereich $?$ gegeben sind, so nennt man das n+m+2-Tupel

$A = \left(A,\circ_1, \dots, \circ_m, \bullet_1, \dots, \bullet_n, \Omega \right)$

eine algebraische Struktur oder kurz Algebra.

Ist n = 0 so schreibt man kürzer

$A = \left(A,\circ_1, \dots, \circ_m \right)$

Das Tripel $? = (m, n,?)$ heißt der Typ von A. Für n = 0 schreibt man kürzer $? = (m)$ .

Zusätzlich fordert man für eine algebraische Struktur noch, dass die Verknüpfungen bestimmte, Axiome genannte Bedingungen erfüllen (z.B. spricht man von "Gruppenaxiomen").

Arten von Algebraischen Strukturen

In der folgenden Liste werden alle (2-stelligen) Verknüpfungen, neutrale Elemente (= 0-stellige Verknüpfungen), Inversenabbildungen (= 1-stellige Verknüpfungen) und Operatorbereiche angegeben.

Im normalen Gebrauch gibt man dagegen für algebraische Strukturen nur die zweistelligen Verknüpfungen und die Operatorbereiche an (manchmal noch die neutralen Elemente), für alle anderen gibt es meist Standardnotationen.

Eine nicht vollständige Liste verschiedener algebraischer Strukturen:

Gruppoid (G,*): eine Menge mit einer zweistelligen Verknüfung *
Quasigruppe (G,*): ein Gruppoid in dem die Division stets (eindeutig) möglich ist
Loop (G,*,1): eine Quasigruppe mit einem neutralen Element
Halbgruppe (G,*): ein assoziatives Gruppoid
Monoid (G,*,1): eine Halbgruppe mit einem neutralen Element 1
Gruppe (G,*,1,^-1): ein Monoid mit einem inversen Element a^-1 für jedes a, oder äquivalent dazu, eine assoziative Loop
Abelsche Gruppe (G,+,0,-): eine kommutative Gruppe (wird meist additiv geschrieben, das "Inverse" von a ist das Negative -a)
Ring (R,+,0,-,·): eine Menge R mit zwei Verknüpfungen + (Addition) und · (Multiplikation), so dass (R,+,0,-) eine abelsche Gruppe, (R,·) eine Halbgruppe ist und die Distributivgesetze erfüllt sind
Unitärer Ring (R,+,0,-,·,1): ein Ring mit neutralem Element 1 für die Multiplikation
Körper (R,+,0,-,·,1,^-1): ein Ring, so dass (R\{0},·,1,^-1) eine abelsche Gruppe ist
Modul (M,+,0,-,·,R) über einem Ring R: Eine Menge M mit einer inneren Verknüpfung + und einer äußeren Verknüpfung ·: R×M -> M (Skalarmultiplikation), so dass (M,+,0,-) eine abelsche Gruppe ist, die Skalarmultiplikation assoziativ ist und die Distributivgesetze erfüllt sind
Vektorraum (V,+,0,-,·,K): ein Modul über einem Körper K
K-Algebra (V,+,0,-,·,*,K): Ein Vektorraum (oder Modul) mit einer bilinearen Verknüpfung * ("Vektormultiplikation"), die die Distributivgesetze erfüllt und assoziativ mit der Skalarmultiplikation ist (sie muss nicht selbst assoziativ sein!)
Assoziative Algebra: eine K-Algebra, deren Multiplikation assoziativ ist
Kommutative Algebra: eine assoziative K-Algebra, deren Multiplikation kommutativ ist
(algebraischer) Verband (V, $\cap$ , $\cup$ ): eine Menge mit zwei kommutativen, assoziativen, idempotenten Verknüpfungen (Durchschnitt und Vereinigung), die Absorptionsgesetze erfüllen
Boolescher Verband (V, $\cap$ , $\cup$ ,0,1,¬): ein Verband mit neutralen Elementen 0 und 1 für $\cap$ und $\cup$ , der zwei Distributivgesetze erfüllt und Komplemente ¬a hat
Menge: eine algebraische Struktur ohne Verknüpfungen

Für eine diagrammatische Darstellung der besonders wichtigen algebraischen Strukturen Halbgruppe, Gruppe, Ring, Schiefkörper, Körper und Vektorraum siehe Bildliche Hierarchie algebraischer Strukturen.

Eigenschaften

Aussagen, die auf alle algebraischen Strukturen zutreffen, werden in der universellen Algebra betrachtet.

Algebraische Strukturen können gleichzeitig auch nicht-algebraische Strukturen sein, wie z.B. topologische Räume. Eine topologische Gruppe ist ein topologischer Raum mit einer Gruppenstruktur, so dass die Operationen Multiplikation und Inversenbildung stetig sind. Eine topologische Gruppe hat sowohl eine topologische, als auch eine algebraische Struktur. Andere häufige Beispiele sind topologische Vektorräume und Lie-Gruppen.

Jede algebraische Struktur hat ihren eigenen Homomorphismus-Begriff. Ein Homomorphismus ist dabei stets eine Funktion zwischen gleichartigen Strukturen, die mit allen Verknüpfungen vertauschbar ist. In diesem Sinne definiert jede algebraische Struktur eine Kategorie.

Noch zu übersetzen
For example, the category of groups has all groups as objects and all group homomorphisms as morphisms. This category, being a concrete category, may be regarded as a category of sets with extra structure in the category-theoretic sense. Similarly, the category of topological groups (with continuous group homomorphisms as morphisms) is a category of topological spaces with extra structure.

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