Mathe Genie Lexikon Injektivität Erklärung Bedeutung und Formel

Injektivität

Injektivität (injektiv oder linkseindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion. Sie tritt auf, wenn nie zwei verschiedene Elemente auf das Gleiche abgebildet werden, d.h. eine Funktion in beide Richtungen eindeutig ist. Eine injektive Funktion ist also (als Relation gesehen) links- und rechtseindeutig.

Im Unterschied zu einer bijektiven Abbildung ist dabei nicht unbedingt jedem Element der Wertemenge ein Wert des Definitionsbereichs zugeordnet (die Bildmenge ist also i.A. kleiner als die Wertmenge), so dass injektive Funktionen im Allgemeinen keine Umkehrfunktion haben, bzw. die Umkehrfunktion nicht vollständig definiert ist. Jede bijektive Abbildung ist übrigens auch injektiv, nicht aber umgekehrt.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

2 Beispiele und Gegenbeispiele

3 Geschichte

4 Verwandte Attribute

Definition

Sei $f$ eine Funktion von $X$ nach $Y$ . $f : X \to Y$

$f$ ist injektiv, wenn für alle $y \in Y$ höchstens ein $x \in X$ mit $f (x) = y$ existiert.
(höchstens eins bedeutet eins oder keins, aber nicht mehr als eins)

alternativ:

$f$ ist injektiv, wenn für alle $x_1,x_2 \in X$ und $y \in Y$ gilt: wenn $f (x 1) = y$ und $f (x 2) = y$ , dann $x 1 = x 2$ .

*Beispiele in unterschiedlicher Darstellungsform*
Mengenkastendarstellung.	Mengenkastendarstellung.
Mengenwolkendarstellung.

Beispiele und Gegenbeispiele

Bezeichne $\mathbb{R}$ die reellen Zahlen und $\mathbb{S}$ das Intervall [0, ?). Gegeben seien die Funktionen

f₁: $\mathbb{R}$ -> $\mathbb{R}$ , f₁(x) = x²

f₂: $\mathbb{S}$ -> $\mathbb{R}$ , f₂(x) = x²

f₃: $\mathbb{R}$ -> $\mathbb{S}$ , f₃(x) = x²

f₄: $\mathbb{S}$ -> $\mathbb{S}$ , f₄(x) = x²

Dann ist

f₁ nicht injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv

f₂ injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv

f₃ nicht injektiv, surjektiv, nicht bijektiv

f₄ injektiv, surjektiv, bijektiv

Geschichte

Nachdem man generationenlang mit Formulierungen wie "eineindeutig" ausgekommen war, kam erst in der Mitte des 20sten Jahrhunderts mit der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf. Wahrscheinlich wurde das Wort "injektiv" ebenso wie "bijektiv" und "surjektiv" in den 1930ern von Bourbaki geprägt. Als frühester Gebrauch im Englischen wird genannt [1] (http://members.aol.com/jeff570/mathword.html): Das Substantiv "Injektion" wurde 1950 von S. MacLane, das Adjektiv "injektiv" 1952 in den Foundations of algebraic topology von Eilenberg und Steenrod eingeführt.