Mathe Genie Lexikon Hölder-Ungleichung Erklärung Bedeutung und Formel

Hölder-Ungleichung

In der mathematischen Analysis ist die Höldersche Ungleichung, benannt nach Otto Hölder, eine fundamentale Ungleichung für L^p-Räume: Sei S ein Maßraum, 1 ? p, q ? ? mit 1/p + 1/q = 1, sei f aus L^p(S) und g aus L^q(S). Dann ist auch fg aus L¹(S) und

$\|fg\|_1 \le \|f\|_p \|g\|_q.$

Ist S die Menge {1,...,n} mit dem Zählmaß, erhält man als Spezialfall die Ungleichung

$\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leq \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}$

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen x₁,...,x_n, y₁,...,y_n. Ist S die Menge der natürlichen Zahlen mit dem Zählmaß, erhält man eine ähnliche Ungleichung für unendliche Reihen.

Für p = q = 2 erhält man die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Die Höldersche Ungleichung wird verwendet, um die Dreiecksungleichung im L^p zu beweisen und um zu beweisen, dass der L^p der duale Raum zu L^q ist.

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