Die hyperbolische Geometrie erhält man, wenn man anstelle des Parallelenaxioms eine seiner Verneinungen, das "hyperbolische Axiom" annimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P mindestens zwei Geraden gibt die durch P gehen und zu g parallel sind. Parallel bedeutet hier aber lediglich, dass die beiden Geraden keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie überall den gleichen Abstand haben.

En einfaches Modell zum Veranschaulichen einer solchen Geometrie ist das Klein-Bertrami-Modell: Die "Ebene" ich hier ein offener Kreis ("offen" bedeutet, dass der Rand des Kreises nicht zur Ebene dazugehört), und "Geraden" sind Kreissehnen. Ein Nachteil diese Modells ist, dass es die Längen- und Winkelmessung verkompliziert, da man eine spezielle Distanzfunktion verwendet.

Siehe auch: elliptische Geometrie