Mathe Genie Lexikon Hyperbelfunktion Erklärung Bedeutung und Formel

Hyperbelfunktion

Zu den Hyperbelfunktionen gehören:

Sinus Hyperbolicus
Cosinus Hyperbolicus
Tangens Hyperbolicus
Cotangens Hyperbolicus
Secans Hyperbolicus
Cosecans Hyperbolicus

Sie sind für alle komplexe Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition über die Exponentialfunktion:

2 Definition über Reihenentwicklung:

3 Wertebereich der reellen Hyperbelfunktionen:

4 Wertebereich der komplexen Hyperbelfunktionen:

4.1 sinh
4.2 cosh

5 Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen:

5.1 Symmetrie und Periodizität
5.2 Additionstheoreme
5.3 Zusammenhänge

6 Alternative Namen:

7 Abgeleitete Funktionen:

Definition über die Exponentialfunktion:

${\rm sinh}(z) := \frac{e^z - e^{-z}}{2}$

${\rm cosh}(z) := \frac{e^z + e^{-z}}{2}$

Definition über Reihenentwicklung:

$sinh(z)$	:=	$\frac{z^1}{1!}+ \frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!} + \frac{z^7}{7!} + \ldots$
$cosh(z)$	:=	$\frac{z^0}{0!}+ \frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!} + \frac{z^6}{6!} + \ldots$

Der Ausdruck $n!$ steht für die Fakultät von $n$
$n! := 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$
Das Reihenglied $\frac{z^1}{1!}$ ist identisch mit der Zahl $z$ .
Das Reihenglied $\frac{z^0}{0!}$ ist identisch mit der Zahl 1.

Wertebereich der reellen Hyperbelfunktionen:

Für alle reelle Zahlen r sind auch sinh ( r ) und cosh ( r ) reell.
Die reelle Funktion sinh ist monoton steigend und besitzt in 0 ihren einzigen Wendepunkt.
Die reelle Funktion cosh ist für Werte < 0 streng monoton fallend,
für Werte > 0 streng monoton steigend.

Wertebereich der komplexen Hyperbelfunktionen:

sinh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
A := { z | - ?/2 < Imaginärteil von z < + ?/2 }
B := { z | Realteil von z ungleich 0 oder Imaginärteil von z = ±1 }
Dann bildet die komplexe Funktion sinh den "Streifen" A bijektiv auf B ab.

cosh

Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert:
A := { z | 0 < Imaginärteil von z < + ? }
B := { z | Imaginärteil von z ungleich 0 oder Realteil von z = ±1 }
Dann bildet die komplexe Funktion cosh den "Streifen" A bijektiv auf B ab.

Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen:

Symmetrie und Periodizität

Für alle komplexen Zahlen $z$ gilt:

$sinh(z) = - sinh( - z)$ , d.h. sinh ist eine ungerade Funktion.
$cosh(z) = cosh( - z)$ , d.h. cosh ist eine gerade Funktion.
$sinh(z) = sinh(z + 2? i)$
$cosh(z) = cosh(z + 2? i)$

d.h. beide Funktionen sind periodisch mit der Minimalperiode $(2? i)$

Additionstheoreme

Für alle komplexen Zahlen z1 und z2 gilt:

sinh ( z1 + z2 ) = sinh ( z1 ) * cosh ( z2 ) + sinh ( z2 ) * cosh ( z1 )
sinh ( z1 - z2 ) = sinh ( z1 ) * cosh ( z2 ) - sinh ( z2 ) * cosh ( z1 )
cosh ( z1 + z2 ) = cosh ( z1 ) * cosh ( z2 ) + sinh ( z1 ) * sinh ( z2 )
cosh ( z1 - z2 ) = cosh ( z1 ) * cosh ( z2 ) - sinh ( z1 ) * sinh ( z2 )

Zusammenhänge

cosh ( z ) ² - sinh ( z ) ² = 1

Alternative Namen:

Für die Hyperbelfunktionen ist auch der Name hyperbolische Funktionen gebräuchlich.
Für sinh sind auch die Namen hsin, Hyperbelsinus und Sinus hyperbolicus gebräuchlich.
Für cosh sind auch die Namen hcos, Hyperbelcosinus und Cosinus hyperbolicus gebräuchlich.

Abgeleitete Funktionen:

Tangens Hyperbolicus ${\rm tanh}(x) := \frac{{\rm sinh}(x)}{{\rm cosh}(x)}$
Cotangens Hyperbolicus ${\rm coth}(x) := \frac{1}{{\rm tanh}(x)} = \frac{{\rm cosh}(x)}{{\rm sinh}(x)}$
Secans Hyperbolicus ${\rm sech}(x) := \frac{1}{{\rm cosh}(x)}$
Cosecans Hyperbolicus ${\rm csch}(x) := \frac{1}{{\rm sinh}(x)}$

Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Areafunktionen.

Siehe auch: Zusammenhang mit den Kreisfunktionen

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