Ein Homomorphismus ist eine Abbildung zwischen zwei Strukturen, durch die Teile der einen Struktur auf "bedeutungsgleiche" Teile der anderen Struktur eindeutig abgebildet werden.

Allgemeine mathematische Definition

Man kann den Homomorphismusbegriff sehr allgemein definieren, in der Kategorientheorie als Morphismus und in der universellen Algebra als Homomorphismus. Die beiden Begriffe unterscheiden sich in einigen Eigenschaften, sind also nicht austauschbar.

Für die bekanntesten algebraischen Strukturen wie Vektorraum, Gruppen, Ringe, Körper sind aber die folgenden Darstellungen einfacher.

Homomorphismen in einigen algebraischen Strukturen

Seien A und B zwei Strukturen, z.B. Gruppen, Vektorräume, Ringe, Körper, usw.

Im folgenden bezeichne (A, f, g, h, ..., a, b, c, ...) eine Struktur, so dass A die Trägermenge ist, f, g, h Verknüpfungen (z.B. "*" oder "+") und a, b, c die jeweils neutralen Elemente dieser Verknüpfungen.

Zum Beispiel ist (Z, +, 0) (die Menge der ganzen Zahlen mit der Verknüpfung + und dem neutralen Element 0) eine Gruppe, (R, *, +, 1, 0) (die Menge der reellen Zahlen mit * und + wie in der Schulmathematik) ein Körper. Dann gilt folgendes:

Gruppenhomomorphismus

Eine Abbildung f: A -> B heißt Gruppenhomomorphismus zwischen (A, *, 1) und (B, x, 1), wenn für alle a, b ? A gilt:
f(a * b) = f(a) x f(b)

Damit folgt trivialerweise auch direkt:

• f(1) = 1, denn es gilt: f(1) = f(1*1) = f(1) x f(1), also f(1) = 1, sowie
  
• , denn es gilt , und damit aus der Eindeutigkeit des inversen Elementes die Behauptung.

Kern(f) := {a ? A : f(a) = 1}
(Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist ein Normalteiler von A).

Siehe auch den Artikel Gruppenhomomorphismus.

Ringhomomorphismus

Eine Abbildung f: A -> B heißt Ringhomomorphismus zwischen (A, *, +, 1, 0) und (B, *, +, 1, 0), wenn für alle a, b ? A gilt:
f ist Gruppenhomomorphismus bzgl. "+", und
f(a * b) = f(a) * f(b)

Analog zu oben gelten dann auch die direkten Folgerungen f(1) = 1 und f(a ^{- 1}) = f(a) ^{- 1}.

Kern(f) := {a ? A : f(a) = 0}
(Der Kern eines Ringhom. ist ein Ideal von A.)

Der Ringhomomorphismus f ist injektiv, genau dann wenn der Kern trivial ist (d.h. nur das neutrale Element aus A enthält).

Beweis:

Sei f injektiv und f(h) = 0. Da f Hom ist, ist f(0) = 0 = f(h), und damit h = 0, da f injektiv. Also ist Kern(f) = {0}. Umgekehrt sei Kern(f) = {0}. Betrachte h und h' mit f(h) = f(h'). Dann ist 0 = f(h) - f(h') = f(h - h'), also h - h' ? Kern(f) = {0}. Also ist h - h' = 0, also h = h' und damit f injektiv.

Da ein Körper K nur K und {0} als einzige Ideale hat, ist damit ein Körperhomomorphismus insbesondere immer injektiv!

Weitere Begriffe

universelle Algebra

Ein Homomorphismus f heißt:

• Epimorphismus, wenn f surjektiv ist.
• Monomorphismus, wenn f injektiv ist.
• Isomorphismus, wenn f bijektiv ist und die Umkehrfunktion ebenfalls ein Homomorphismus ist.
• Endomorphismus auf A, wenn f die Struktur A in sich selbst abbildet.
• Automorphismus auf A, wenn f: A -> A ein Isomorphismus ist.

Kategorientheorie

Ein Homomorphismus f heißt:

• Retraktion, wenn es einen Homomorphismus g gibt, so dass f o g = id ist.
• Schnitt, wenn es einen Homomorphismus g gibt, so dass g o f = id ist.
• Epimorphismus, wenn f rechtskürzbar ist.
• Monomorphismus, wenn f linkskürzbar ist.
• Bimorphismus, wenn f ein Epimorphismus und Monomorphismus ist.
• Isomorphismus, wenn f Retraktion und Schnitt ist.
• Endomorphismus auf A, wenn f von A nach A abbildet.
• Automorphismus auf A, wenn f: A -> A Isomorphismus ist.