Dieser Artikel enthält mathematische Symbole. Diese werden in der Tabelle mit mathematischen Symbolen erläutert.

Der Mathematiker David Hilbert präsentierte das folgende Paradoxon über die Unendlichkeit. Es ist kein Paradoxon im eigentlichen Sinne, zeigt jedoch die sehr verblüffenden Konsequenzen der Nutzung des Unendlichkeitsbegriffes in der Mathematik auf.

Das Paradox des unendlichen Hotels

In einem Hotel mit endlich vielen Zimmern können keine Gäste mehr aufgenommen werden, sobald alle Zimmer belegt sind. Stellen wir uns nun ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern vor. Man könnte annehmen, dass dasselbe Problem auch hier auftritt.

Es gibt jedoch einen Weg, Platz für einen weiteren Gast zu machen, obwohl alle Zimmer belegt sind. Der Gast von Zimmer 1 geht in Zimmer 2, der Gast von Zimmer 2 geht in Zimmer 3, der von Zimmer 3 nach Zimmer 4 usw. Damit wird Zimmer 1 frei für den neuen Gast. Wiederholt man das, erhält man Platz für beliebig endlich viele neue Gäste. Es ist sogar möglich, Platz für (abzählbar) unendlich viele Gäste zu machen: Der Gast von Zimmer 1 geht wie eben in Zimmer 2, der Gast von Zimmer 2 aber in Zimmer 4, der von Zimmer 3 in Zimmer 6 usw. Damit werden alle Zimmer mit ungerader Nummer frei für die unendlich vielen Neuankömmlinge.

Was ist, wenn nun (abzählbar) unendlich viele Busse mit je unendlich vielen Gästen vorfahren? Können auch diese Gäste alle im bereits vollen Hotel untergebracht werden? Das geht zum Beispiel, indem man die Zimmer mit ungeraden Nummern wie eben beschrieben frei macht, und dann die Gäste aus Bus 1 in die Zimmer 3ⁿ schickt, mit n = 1, 2, 3, ..., die Gäste aus Bus 2 in die Zimmer 5ⁿ, usw. die Gäste aus Bus i in die Zimmer pⁿ, wobei p die i+1-te Primzahl ist. Dadurch sind alle angekommenen Gäste im Hotel untergebracht und sogar noch unendlich viele Zimmer frei. Cantors Diagonalverfahren liefert eine andere Möglichkeit, die Gäste unterzubringen.

All diese Möglichkeiten sind nicht wirklich paradox, sondern widersprechen nur der Intuition. Es ist schwierig, sich eine Vorstellung von unendlichen "Zusammenfassungen von Dingen" zu machen, da ihre Eigenschaften sich sehr unterscheiden von denen gewöhnlicher, endlicher "Zusammenfassungen von Dingen". In einen gewöhnlichen Hotel ist die Anzahl der Zimmer mit ungerader Nummer offenbar kleiner als die Gesamtanzahl aller Zimmer. In Hilberts Hotel, das treffenderweise "Grand Hotel" genannt wird, ist die "Anzahl" der Zimmer mit ungerader Nummer "genausogroß" wie die "Anzahl" aller Zimmer. Mathematisch ausgedrückt wird das so: Die Mächtigkeit der Teilmenge der Zimmer mit ungerader Nummer ist gleich der Mächtigkeit der Menge aller Zimmer. Man kann unendliche Mengen über die Eigenschaft definieren, eine gleichmächtige echte Teilmenge zu haben. Die Mächtigkeit abzählbarer Mengen wird ("aleph 0") genannt.

Eine noch seltsamere Geschichte um dieses Hotel zeigt, dass vollständige Induktion nur in einer Richtung funktioniert. Es dürfen keine Zigarren in das Hotel mitgebracht werden. Trotzdem hat jeder Gast des voll belegten Hotels eine Zigarre. Woher kamen die dann? Der Gast in Zimmer 1 bekam seine vom Gast in Zimmer 2. Der hat zwei Zigarren vom Gast aus Zimmer 3 bekommen, der wiederum bekam drei vom Gast aus Zimmer 4 usw. Der "Induktionsschritt" wäre also dieser: Der Gast in Zimmer n behält eine Zigarre und gibt die restlichen n-1 Zigarren an den Gast mit der nächstkleineren Zimmernummer n-1 weiter. Bei dieser Argumentation fehlt jedoch der Induktionsanfang.