Mathe Genie Lexikon Hilbertraumbasis Erklärung Bedeutung und Formel

Hilbertraumbasis

In einem n-dimensionalen K-Vektorraum V ist eine Basis $E=(e_1,\dots,e_n)$ insbesondere dadurch charakterisiert, dass die Abbildung

$\eta:K^n\to V:x=(x^1,\dots,x^n)^t\mapsto E\cdot x=e_1x^1+\dots+e_nx^n$

bijektiv ist.

Bei einem nicht endlichdimensionalen Raum ergibt sich unter anderem das Problem, dass obige Summe nicht definiert ist. Es erweist sich als einfacher, zunächst statt nach einer Hilbertraumbasis nach Koordinaten im Hilbert-Raum zu fragen. Koordinaten sind hier eine Menge linearer Funktionale, mittels derer Werte ein Vektor eindeutig identifiziert werden kann.

Inhaltsverzeichnis

1 Systeme linearer Funktionale

1.1 Koeffizientenraum
1.2 Bessel-System
1.3 Rahmen

2 Basis im Hilbertraum

2.1 Riesz-Basis
2.2 Orthonormalsystem

Systeme linearer Funktionale

In jedem Hilbert-Raum H sind Funktionale durch Vektoren darstellbar (Rieszscher Darstellungssatz), sei also $X\subset H$ eine abzählbare Teilmenge, die die Funktionale für jedes $x\in X$ definiert.

Koeffizientenraum

Mit $\ell_2(X)$ sei die Menge aller Folgen $c=\{c_x\}_{x\in X}$ von X in den Skalarraum von H (R oder C) bezeichnet, für welche $\|c\|^2:=\sum_{x\in X} |c_x|^2<\infty$ ist.

Bessel-System

X heißt Bessel-System, falls eine Besselsche Ungleichung gilt, d.h. falls es eine Konstante B gibt mit

$\sum_{x\in X} |\langle x,v\rangle|^2\le B^2\,\|v\|^2$ .

Damit erzeugt X eine stetige lineare Abbildung

$\xi^*:H\to \ell_2(X):v\mapsto \{\langle x,v\rangle\}_{x\in X}$ .

Rahmen

Ist diese Abbildung streng injektiv, d.h. gibt es eine weitere positive Konstante A mit

$A^2\,\|v\|^2\le \sum_{x\in X} |\langle x,v\rangle|^2$

so nennt man X einen Rahmen (engl. "frame") des Hilbertraumes, gilt sogar $A = B$ , so heißt X straffer Rahmen (engl. "tight frame"), für letzteren gilt schon

$\forall v\in H: v=\frac1A\sum_{x\in X} \langle x,v\rangle\,x$ ,

eine spezielle Art eines Erzeugendensystems. Allgemein gibt es zu einem Rahmen X einen dualen Rahmen RX, wobei R eine stetige lineare Abbildung $R:H\to H$ ist und es gilt

$\forall v\in H: v=\sum_{x\in X} \langle x,v\rangle\,Rx =\sum_{x\in X} \langle Rx,v\rangle\,x$ .

Basis im Hilbertraum

Bisher können wir jedem Element des Hilbertraums eindeutig eine Koordinatenfolge in $\ell_2(X)$ zuordnen. Für endliche Folgen $c \in \ell_2(X)$ kann aber auch der Operator

$\xi(c):=\sum_{x\in X} c_x\,x$ definiert werden. Ist X ein Bessel-System, so kann $?$ zu einem beschränkten Operator auf $\ell_2(X)$ fortgesetzt werden und es gilt

$\forall c \in \ell_2(X):\;\|\xi(c)\|\le B\,\|c\|$ .

Riesz-Basis

Ist X ein Rahmen und ist die Koordinatenabbildung $? *$ surjektiv, so folgt

$\forall c \in \ell_2(X): \;A\,\|c\|_{\ell_2}\le \|\sum_{x\in X}c_x\,x\|_H\le B\,\|c\|_{\ell_2}$ ,

womit $?$ die stetige Inverse $\xi^{-1}(v)=\{\langle v,Rx\rangle_{x\in X}\}$ besitzt. In diesem Fall heißt X stabile oder Riesz-Basis.

Besitzt ein Hilbertraum eine solche abzählbare Riesz-Basis, so wird er separabel genannt.

Orthonormalsystem

Gilt zusätzlich noch A=B=1, so ist X ein Orthonormalsystem bzw. eine Orthonomalbasis. In diesem Fall gilt sowohl die Parsevalsche Gleichung

was äquivalent zu

$\forall v \in H:\;v=\sum_{x\in X}\langle v,x\rangle\,x$

ist; als auch

$\forall c \in \ell_2(X)\;\forall y\in X:\;c_y=\langle \sum_{x\in X}c_x\,x,y\rangle$ ,

äquivalent zu

$\forall c \in \ell_2(X):\;\|c\|=\|\sum_{x\in X}c_x\,x\|$

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