Mathe Genie Lexikon Hessesche Normalform Erklärung Bedeutung und Formel

Hessesche Normalform

Die Hessesche Normalform (nach Otto Hesse) ist eine Gleichung, die eine Ebene im Euklidischen Raum R³ beschreibt:

Wenn $\vec r$ in einem gegebenen Koordinatensystem der Ortsvektor eines Punktes P aus der Ebene E ist (kurz: $P \in E$ ), dann gilt

$\vec r \cdot \vec n_0 = d.$

Dabei ist

$\vec n_0$ der normierte Normalenvektor von E und
d der Abstand der Ebene vom Ursprung des Koordinatensystems.

Inhaltsverzeichnis

1 Herleitung / Berechnung aus der Normalgleichung

2 Berechnung aus drei Ortsvektoren über ein Gleichungssystem

2.1 Beispiel

3 Berechnung über das Kreuzprodukt

4 Verallgemeinerung

Herleitung / Berechnung aus der Normalgleichung

In der Normalgleichung

$(\vec r -\vec a)\cdot \vec n = 0$ ,

ist die Ebene durch den Normalenvektor $\vec n$ sowie einen beliebigen Ortsvektor $\vec a$ eines Punktes $A \in E$ gegeben. Indem man $\vec n$ durch seinen Betrag $| \vec n |$ dividiert, erhält man den normierten Normalenvektor

$\vec n_0 = {{\vec n} \over {| \vec n |}}$

und es gilt

$(\vec r -\vec a)\cdot \vec n_0 = 0$ .

Indem man

$d = \vec a\cdot \vec n_0$

berechnet, erhält man die Hessesche Normalform

$\vec r \cdot \vec n_0 - d = 0$ .

d ist hierin den Abstand vom Ursprung, denn da $\vec r \cdot \vec n_0 = d$ für jeden Punkt der Ebene gilt, gilt es insbesondere auch für den Punkt Q mit $\vec r = \vec r_s$ . Dann ist nach Definition des Skalarproduktes

Der Betrag $|\vec r_s|$ von $\vec r_s$ ist aber der Abstand der Ebene vom Ursprung.

Berechnung aus drei Ortsvektoren über ein Gleichungssystem

Hat man 3 Ortsvektoren x₁, x₂ und x₃ von Punkten der Ebene gegeben (die nicht auf einer Geraden liegen) und will daraus die Hessesche Normalform berechnen, wertet man die folgenden Gleichungen aus:

$(\vec x_1 - \vec x_2) \cdot \vec n = 0$

$(\vec x_2 - \vec x_3) \cdot \vec n = 0$

$(\vec x_3 - \vec x_1) \cdot \vec n = 0$

Die dritte Gleichung ist redundant. Das Gleichungssystem ist daher erst lösbar, indem man als zusätzliche Bedingung die Normiertheit

$|\vec n| = 1$ ,

also

verlangt. Einfacher ist es, den übrig behaltenen Freiheitsgrad, nämlich den Betrag ( $l 2$ -Norm) $|\vec n|$ des Vektors $\vec n$ , zunächst beliebig zu wählen und dann zu normieren, indem man $\vec n$ durch $|\vec n|$ dividiert.

Beispiel

$\vec x_1 = \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\vec x_2 = \begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ , $\vec x_3 = \begin{pmatrix}-3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Zu lösen ist:

n 1 + n 2 - n 3 = 0

n 1 - 2 n 2 + n 3 = 0

- 2 n 1 + n 2 = 0

Lösung:

$\vec n = \frac{\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}}{\sqrt{14}}$

$d = \vec x_1 \cdot \vec n = \frac{4}{\sqrt{14}}$

Hessesche Normalform:

$\frac {\vec x \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - 4}{\sqrt{14}} = 0$

Berechnung über das Kreuzprodukt

Ein anderer Weg zur Berechnung des Normalenvektors führt über das Kreuzprodukt. Man erhält in diesem Falle ein eindeutiges Ergebnis

$\vec n = (\vec x_1 - \vec x_2) \times (\vec x_2 - \vec x_3)$ ,

wobei man aber auch hier i.A. $\vec n$ noch normieren muss:

$\vec n_0 = {{\vec n} \over {| \vec n |}}$

Aus

$d = \vec x_1 \cdot \vec n_0$

ergibt sich schließlich wieder der Abstand der Ebene zum Nullpunkt. Diese Abstandsberechnung ist ein wichtiges Anwendungsgebiet der Hesseschen Normalform.

Verallgemeinerung

Die Hessesche Normalform (nicht aber die Berechnung über das Kreuzprodukt) kann man ganz allgemein zur Beschreibung (n-1)-dimensionaler Hyperebenen im n-dimensionalen Raum verwenden.

siehe auch: Jordansche Normalform, Geradengleichung

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