Die Helmert-Transformation - nach Friedrich Robert Helmert (1843-1917) - ist eine Transformation für dreidimensionale kartesische Koordinaten (siehe auch Sieben-Parameter-Transformation). Sie enthält als Paramter einen Verschiebungsvektor, einen Maßstabsfaktor und eine räumliche Drehmatrix. Damit ist sie eine Ähnlichkeitstransformation:

X_T = c + ?RX

• X_T ... transformierter Vektor
• c ... Verschiebungsvektor. Enthält die Verschiebungen entlang der drei Koordinatenachsen
• ? ... Maßstabsfaktor
• R ... Drehmatrix. Besteht aus den drei Drehwinkeln um die z-, die y- und die x-Achse zusammen. Die Drehmatrix ist eine Orthogonalmatrix
• X ... Ausgangsvektor
  

Berechnung der Parameter

Wenn die Transformationsparameter unbekannt sind, können sie über idente Punkte (also Punkte, deren Koordinaten vor und nach der Transformation bekannt sind) berechnet werden. Da insgesamt 7 Paramter (3 Verschiebungen, 1 Maßstab, 3 Verdrehungen) zu bestimmen sind, müssen zumindest 2 Punkte und von einem 3. Punkt eine Koordinate (z. B. die z-Koordinate) bekannt sein. Damit entsteht ein Gleichungssystem mit sieben Gleichungen und ebensovielen Unbekannten, das gelöst werden kann.

In der Praxis wird man bestrebt sein, mehr Punkte zu verwenden. Durch diese Überbestimmung erhält man erstens eine Kontrolle über die Richtigkeit der verwendeten Punkte und zweitens die Möglichkeit einer statistischen Beurteilung des Ergebnisses. Die Berechnung erfolgt in diesem Fall mit einer Ausgleich nach der Gauß'schen Methode der kleinsten Quadrate.

Um numerisch günstige Werte für die Berechnung der Transformationsparameter zu erhalten, werden die Berechnungen mit Koordinatendifferenzen, bezogen auf den Schwerpunkt der gegebenen Punkte, durchgeführt.

Zweidimensionaler Fall

Ein Spezialfall ist die zweidimensionale Helmert-Transformation. Hier werden nur 4 Parameter benötigt (2 Verschiebungen, 1 Maßstab, 1 Verdrehung) und die Ermittlung derselben kann bereits mit zwei identischen Punkten erfolgen; wenn mehr Punkte gegeben sind, erfolgt wiederum eine Ausgleichung.

Anwendung

Die Helmerttransformation wird unter anderem in der Geodäsie angewendet, um Kordinaten der Punkte von einem Koordinatensystem in ein anderes zu transformieren. Damit ist z. B. die Übernahme von Punkten, die mittels GPS bestimmt wurden (und daher in einem globalen Koordinatensystem vorliegen) in das Landeskoordiantensystem möglich.

Einschränkungen

Als Ähnlichkeitstransformation (die nur einen Maßstabsfaktor kennt) kann die Helmert-Transformation nicht verwendet werden für:

• Die Entzerrung von Messbildern, Fotos
• Die Ausgleichung eines Papierverzugs beim Scannen von alten Plänen und Karten.

In diesen Fällen ist eine Affine Transformation zu verwenden.

Weblinks

• http://www.w-volk.de/museum/mathex02.htm