Mathe Genie Lexikon Harmonische Reihe Erklärung Bedeutung und Formel

Harmonische Reihe

Die harmonische Reihe ist ein Begriff aus der Mathematik. Sie bezeichnet die unendliche Reihe

$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$

Sie divergiert für $n \rightarrow \infty$ . Für endliche n gilt die Näherung:

$S(n)=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \approx \ln(n)+ \gamma.$

$ln(n)$ ist hierbei der natürliche Logarithmus. Die Konstante $?$ (gamma) heißt Euler-Mascheroni-Konstante und beträgt ca. 0,5772156649.

Vergleich des gerechneten Werts mit dem der Näherungsformel für verschiedene n:

   n     Summe  Näherung  Genauigkeit in %
      5  2.28   2.19      95.77% 
     10  2.93   2.88      98.32% 
     20  3.60   3.57      99.31% 
     50  4.50   4.49      99.78% 
    100  5.19   5.18      99.90% 
    500  6.79   6.79      99.99% 
   1000  7.49   7.48      99.99% 
  10000  9.79   9.79     100.00%

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