Mathe Genie Lexikon Hamilton-Funktion Erklärung Bedeutung und Formel

Hamilton-Funktion

Eine Hamilton-Funktion H (nach William Rowan Hamilton) ist die Legendre-Transformation einer Lagrangefunktion L (siehe auch Hamilton-Formalismus).

Sei q eine generalisierte Koordinate und

$\dot q = \frac{\partial q} {\partial t}$ .

Sei weiter

$p= \frac{dL} {d\dot q }$ der generalisierte Impuls.

Diese Gleichung kann i.a. zu

$\dot q = \dot q(p,q)$

umgestellt werden.

Sei

$L=L(q, \dot q, t )$ eine Lagrangefunktion.

Dann ist

die Hamilton-Funktion.

Daraus sind leicht die kanonischen Gleichungen abzuleiten:

$\frac{\partial H} {\partial p} = \dot q$ und

$\frac{\partial H} {\partial q} = -\dot p$ , mit $\dot p = \frac{dp} {dt}$

aus denen man Bewegungsgleichungen für physikalische Problemstellungen erhält.

Bei n generalisierten Koordinaten gilt:

$H(p_1,...,p_n,q_1,...,q_n) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot\dot q_i(p_1,...,p_n,q_1,...,q_n)]-L(q_1,...,q_n,\dot q_1(p_1,...,p_n,q_1,...,q_n),...,\dot q_n(p_1,...,p_n,q_1,...,q_n))$

mit kanonischen Gleichungen:

$\frac{\partial H} {\partial p_i} = \dot q_i$

$\frac{\partial H} {\partial q_i} = - \dot p_i$ mit i=1, ,n

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