In der Mathematik bezeichnet man eine Menge zusammen mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung als Gruppoid oder als Binar, selten auch als Magma. Hat die innere Verknüpfung noch spezielle Eigenschaften (siehe Gruppentheorie), so erhält das Gruppoid eine entsprechende andere Bezeichnung: Halbgruppe, Monoid oder (abelsche) Gruppe.

Freier Gruppoid

Für jede nichtleere Menge X kann man den freien Gruppoid über X definieren als die Menge aller endlichen Binärbäume, deren Blätter mit Elementen von X beschriftet sind. Das Produkt AB zweier Bäume A und B ist der Baum, dessen Wurzel den linken Unterbaum A und den rechten Unterbaum B hat. Aufschreiben kann man die Elemente des freien Gruppoids durch vollständig geklammerte Ausdrücke.

Sei zum Beispiel X={a,b,c}. Dann enthält der freie Gruppoid über X unter anderem die (paarweise verschiedenen) Elemente

a, b, c, ab, ba, (ab)c, a(bc), (aa)(bb), (a(ab))b, (ab)(ab).