Mathe Genie Lexikon Gram-Schmidt Erklärung Bedeutung und Formel

Gram-Schmidt

Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist ein Verfahren in der linearen Algebra, um aus einer beliebigen Basis {b₁,...,b_n} eines Vektorraums eine Orthonormalbasis für diesen Vektorraum zu konstruieren.

Die Methode ist nach Jorgen Pedersen Gram (1850-1916) und Erhard Schmidt benannt. Aber sie ist älter: sie kann in den Werken von Pierre-Simon Laplace und Augustin Louis Cauchy nachgewiesen werden.

Inhaltsverzeichnis

1 Orthogonalisierung

1.1 Konstruktion eines OGS
1.2 Konstruktion eines ONS
1.3 Bemerkung

Orthogonalisierung

Es sei U ein linearer Unterraum von V, wobei V ein Verktorraum sei. (b₁,..., b_n) sei eine Basis von U; folglich gilt U = Spann (b₁,..., b_n).

Wir suchen eine Konstruktion einer Orthogonalbasis bzw. einer Orthonormalbasis (u₁,..., u_n) für U. Unser Ansatz ist rekursiv: Sind die Vektoren u₁,..., u_i-1 bereits bekannt, genügt es, von b_i eine Linearkombination der Vektoren u₁,..., u_i-1 in geeigneter Weise abzuziehen.

Wir erhalten dann einen Vektor, der auf u₁, ..., u_i-1 senkrecht steht: $u_i = b_i - \sum_{j=1}^{i-1} \lambda_j u_j$

Bilden wir das Skalarprodukt mit u_k mit k = 1, ..., i-1, erhalten wir: $0 = \langle u_i,u_k \rangle = \langle b_i,u_k \rangle - \sum_{j=1}^{i-1} \lambda_j \langle u_i,u_k \rangle$

Mit $\lambda_k = \frac {\langle b_i,u_k \rangle}{\langle u_k,u_k \rangle}, k=1, 2,..., i-1$ ergeben sich die folgenden Verfahren:

Konstruktion eines OGS

Durch die folgende Konstruktionsvorschrift entsteht rekursiv ein Orthogonalsystem {u₁,..., u_n}:

$u 1 = b 1$
für j = 2,3,..., n
$u_1 := b_j - \sum_{k=1}^{i-1} \frac {\langle b_k,u_k \rangle}{\langle u_k,u_k \rangle}$

Konstruktion eines ONS

Durch die folgende Konstruktionsvorschrift entsteht rekursiv ein Orthonormalsystem {u₁,..., u_n}:

$u_1 = \frac{b_1}{||b_1||}$
$v_i = b_i - \sum_{k=1}^{i-1} \langle u_k,b_i \rangle u_k$
$u_i = \frac{v_i}{||v_i||}$

Die Schritte (2) und (3) werden für alle i aus {2, ..., n} durchlaufen. Schritte (1) und (3) führen jeweils zu einer Normierung der Vektoren u_i auf die Länge 1. Vor Schritt (2) beim i-ten Durchlauf bilden die Vektoren {u₁, ..., u_i-1} jeweils eine Orthonormalbasis. In Schritt (2) wird nun ein Vektor v_i so hinzugefügt, dass er orthogonal auf den Vektoren u₁ bis u_i-1 steht und mit diesen den gleichen Raum aufspannt wie die Vektoren b₁ bis b_i (also auch wie die Vektoren u₁, ..., u_i-1, b_i). Dies wird dadurch erreicht, dass vom Vektor b_i alle Projektionen auf die Vektoren u₁ bis u_i-1 abgezogen werden. Dadurch werden alle von der bisherigen Basis {u₁, ..., u_i-1} linear abhängigen Anteile abgezogen, der resultierende Vektor v_i steht orthogonal auf allen bisherigen Vektoren.

Die Reihenfolge der entstehenden Vektoren hängt dabei nur von der Basis ab, von der man ausgeht. Man kann sich zu einer Basis eine andere Basis konstruieren, so dass dieselben orthonormalen Vektoren entstehen, nur in einer anderen Reihenfolge.

Im Allgemeinen erhält man durch das Verfahren kein besonders ausgezeichnetes System, aber im $\mathbb{R}^3$ kann man daraus durch Umordnung ein Rechts- oder Linkssystem erhalten.

Bemerkung

Eine besondere Eigenschaft der OGS/ONS nach den beiden beschriebenen Vorgehensweisen ist, dass alle Teilräume Spann (b₁,..., b_i) für i = 1,..., n orthogonalisiert werden. Somit bildet (u₁,..., u_i) hierfür eine Orthogonalbasis bzw. eine Orthonormalbasis.

Berechnet man ein ONS von Hand, ist es oftmals einfacher, zunächst ein OGS zu erstellen und dann die einzelnen Vektoren zu normieren. Hierduch spart man sich das zweifache Normieren und kann oftmals mit einfacheren Werten rechnen. Gegebenenfalls lohnt es sich, vor dem Erstellen des OGS/ONS das Gaußsche Eliminationsverfahren durchzuführen.

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