Mathe Genie Lexikon Glossar mathematischer Attribute Erklärung Bedeutung und Formel

Glossar mathematischer Attribute

In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen, surjektiv), kann aber auch ein Substantiv involvieren (vom Grad 3). Dieses Glossar soll insbesondere in Fällen, in denen ein und dasselbe Attribut auf Objekte ganz verschiedenen Typs angewandt wird, zur schnellen Orientierung dienen, Querverbindungen aufzeigen und vor möglichen Verwechslungen bewahren.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

A

abelsch

Eine Gruppe heißt abelsch (nach Niels Henrik Abel), wenn die Gruppenverknüpfung kommutativ ist.

abgeschlossen

In der abstrakten Algebra heißt eine Menge abgeschlossen bezüglich einer auf ihren Elementen definierten Operation (z.B. einer zweistelligen Verknüpfung), wenn das Ergebnis der Operation, angewandt auf beliebige Elemente der Menge, wieder ein Element dieser Menge ist.
Eine Teilmenge eines topologischen Raums heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement eine offene Menge ist.
Siehe auch das Stichwort algebraisch abgeschlossen.

abzählbar

Eine Menge bezeichnet man als abzählbar (oder abzählbar unendlich), wenn sie mit der Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig ist. Je nach Definition können auch endliche Mengen abzählbar heißen. Mächtigere Mengen heißen überabzählbar.

adjungiert

Zwei Matrizen A, B heißen adjungiert oder Hermitesch adjungiert zueinander, wenn sie durch komplexe Konjugation und Transposition auseinander hervorgehen, wenn also $B={\overline{A}}^{T}=:A^{\dagger}=\mathrm{adj}(A)$ . Von der ebenfalls verbreiteten Notation $A *$ statt $A^{\dagger}$ ist abzuraten, weil $A *$ verschiedentlich statt ${\overline{A}}$ zur Bezeichnung der komplexen Konjugation verwandt wird. Eine sinnvollere Notationsalternative zu $A^{\dagger}$ ist $A H$ . Selbstadjungierte Matrizen heißen auch Hermitesch oder unitär.
In der Funktionalanalysis heißen lineare Operatoren adjungiert zueinander, wenn ...
In der Kategorientheorie heißen zwei Funktoren adjungiert zueinander (Adjunktion), falls ...

affin

Eine Funktion der Form f(x) = a + bx heißt affin-linear.

ähnlich

In der Geometrie sind zwei Figuren ähnlich, wenn sie durch Verschiebung, Drehung, Spiegelung und isotrope Streckung ineinander übergeführt werden können. Ähnlichkeit erweitert also Kongruenz (Geometrie) um die Möglichkeit der Streckung.
In der linearen Algebra heißen zwei quadratische Matrizen A und B ähnlich, wenn sie durch eine invertierbare Matrix S ineinander überführt werden können, A = S B S^-1. Ähnlichkeit ist hier ein Spezialfall von Äquivalenz.

algebraisch

Eine Funktion heißt algebraisch, wenn sie durch eine endliche Anzahl elementarer Rechenoperationen (die Verknüpfungen der zugrunde liegenden Zahlenmenge, das sind meist die Grundrechenarten, einschließlich Berechnung von Inversen) dargestellt werden kann. Andernfalls heißt die Funktion transzendent.
Analog dazu heißt eine Gleichung algebraisch, wenn sie durch eine endliche Anzahl elementarer Rechenoperationen formuliert werden kann.
In der Funktionentheorie heißt eine hebbare Singularität auch algebraisch.
Eine komplexe Zahl heißt algebraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Die Menge der algebraischen Zahlen bildet einen algebraischen Abschluss der Menge Q.
Ein Element einer Körpererweiterung heißt algebraisch, wenn es Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus dem zu erweiternden Körper ist, siehe algebraisches Element.

algebraisch abgeschlossen

Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom vom Grad >= 1 mit Koeffizienten aus K eine Nullstelle in K hat. Der Körper der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen, der der reellen Zahlen nicht. Siehe auch algebraischer Abschluss.

analytisch

In der Funktionentheorie heißt eine Funktion einer komplexen Veränderlichen analytisch, wenn sie lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben ist. Das ist (im Gegensatz zur reellen Analysis) äquivalent damit, dass die Funktion unendlich oft differenzierbar ist, und das wiederum ist (erneut im Gegensatz zur reellen Analysis) äquivalent damit, dass die Funktion stetig und differenzierbar, also holomorph oder regulär ist. Tatsächlich werden in der Funktionentheorie, das heisst in der komplexen Analysis, die Begriffe analytisch, holomorph und regulär äquivalent gebraucht.

Auch in der reellen Analysis heisst eine Funktion analytisch wenn sie lokal durch einen Potenzreihe gegeben ist.

antisymmetrisch

Eine Relation R heißt antisymmetrisch, wenn aus xRy und yRx folgt, dass x und y gleich sind. Dies ist eine der definierenden Eigenschaften einer partiellen Ordnung.

äquivalent

Zwei Aussagen heißen äquivalent, wenn sie unter gleichen Voraussetzungen denselben Wahrheitswert haben. Insbesondere heißen zwei Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben.
Zwei Elemente einer Menge heißen äquivalent, wenn sie in der gleichen Äquivalenzklasse bezüglich einer Äquivalenzrelation liegen.
In der linearen Algebra heißen zwei m×n Matrizen A und B äquivalent, wenn es invertierbare Matrizen S und T gibt, so dass A = S·B·T. Äquivalente Matrizen beschreiben bezüglich geeigneter Basen die gleiche lineare Abbildung; Matrizen sind genau dann äquivalent, wenn sie den gleichen Rang haben. Falls die äquivalenten Matrizen A und B quadratisch sind (m=n) und T=S^-1>gewählt werden kann, sind A und B sogar ähnlich.
Zwei Darstellungen heißen äquivalent, wenn sie bis auf Basenwechsel aus den gleichen linearen Abbildungen bestehen.

assoziativ

Eine zweistellige Verknüpfung "*" heißt assoziativ, wenn für alle Elemente a, b und c der Grundmenge stets die Gleichung a*(b*c) = (a*b)*c gilt. Die Assoziativität der Verknüpfung erlaubt es, bestimmte Klammern wegzulassen und einfach a*b*c zu schreiben. Eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung ist eine Halbgruppe.

asymmetrisch

Eine Relation R heißt asymmetrisch, wenn aus xRy stets nicht yRx folgt. Dies ist eine der Eigenschaften einer strikten partiellen Ordnung.

B

befreundet

Ein Paar natürlicher Zahlen heißt befreundet, wenn die Summe der echten Teiler der einen Zahl die jeweils andere ergibt. Beispiel: 220 und 284 (1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284, 1+2+4+71+142 = 220). Siehe befreundete Zahlen.

beschränkt

Eine Teilmenge U eines metrischen Raums (X, d) heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl c gibt, so dass der Abstand zweier Elemente von U stets kleinergleich c ist, wenn also die Abstände in U beschränkt sind.
Als Spezialfall davon heißt eine Menge U reeller Zahlen beschränkt, wenn es zwei reelle Zahlen a und b gibt, so dass U eine Teilmenge des abgeschlossenen Intervalls [a, b] ist.

bijektiv

Eine Funktion heißt bijektiv oder umkehrbar eindeutig (engl.: bijective oder one-to-one and onto), wenn sie injektiv und surjektiv ist, also verschiedenen Elementen der Definitionsmenge verschiedene Elemente der Wertemenge zuordnet, wobei jedes Element der Wertemenge erreicht wird. Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus.

bilinear

Eine Funktion f: V×V ? W, die zwei Elemente eines Vektorraums V auf ein Element eines Vektorraums W abbildet, heißt bilinear, wenn sie bei festgehaltenem ersten Argument linear im zweiten Argument und bei festgehaltenem zweiten linear im ersten Argument ist. Wenn W der dem Vektorraum V unterliegende Skalarkörper ist, heißt f Bilinearform. Über dem Körper der komplexen Zahlen betrachtet man oft sesquilineare statt bilinearer Funktionen.

C

chaotisch

charakteristisch

Charakteristisches Polynom und charakteristische Gleichung einer Matrix oder eines Operators, siehe Eigenvektor.
In der Gruppentheorie ist eine charakteristische Untergruppe einer Gruppe G eine Untergruppe H, die unter jedem Automorphismus von G fest bleibt. Das heißt, eine Untergruppe H von G heißt charakteristisch, wenn für jeden Automorphismus (bijektiven Gruppenhomomorphismus von G nach G) f gilt, dass f(H) Teilmenge von H ist.

D

definit

Siehe positiv definit und negativ definit.

dicht

Eine Teilmenge M liegt dicht in einem topologischen Raum R, wenn es keine abgeschlossene Teilmenge von R außer R selbst gibt, die M enthält. Mit anderen Worten, M ist dicht (in R), wenn der Abschluss von M mit R übereinstimmt. Beispiel: die Menge der rationalen Zahlen Q liegt dicht in der Menge der reellen Zahlen R (und macht diese dadurch separabel).
Die Teilordnung einer Menge S heißt dicht, wenn es zu jedem x und y aus S mit x < y ein z aus S gibt, so dass x < z < y. Beispiel: die übliche Ordnung der rationalen oder der reellen Zahlen ist dicht.

differenzierbar

Die Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x₀, falls der Limes des Differenzenquotienten an der Stelle x₀ existiert.

Dimension

In der linearen Algebra ist die Dimension eines Vektorraums die Anzahl seiner Basisvektoren, also die minimale Ordnung eines Erzeugendensystems. Diese Dimension heißt auch Hamel-Dimension.
Die Dimension einer Mannigfaltigkeit ist die Anzahl der Koordinaten in einem lokalen Koordinatensystem. Dass eine Mannigfaltigkeit eine eindeutige Dimension hat, ist gesichert, wenn sie zusammenhängt.
Die Hausdorff-Dimension kann nichtganzzahlig sein und wird zur Beschreibung von Fraktalen verwandt.

disjunkt

Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen.

dual

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Dann heißt der Vektorraum V^*:=Hom_K(V,K), der die linearen Abbildungen von V nach K enthält, dual zu V (Dualraum).
In einer Booleschen Algebra entsteht eine duale Aussage, wenn man alle Elementaraussagen negiert, 0 mit 1 und ? mit ? vertauscht, und die gesamte Aussage negiert.
Analog dazu geht ein komplementärer Verband (z.B. eine Mengenalgebra) in sein duales Gegenstück über, wenn man die beiden inneren Verknüpfungen miteinander vertauscht und jedes Element durch sein Komplement ersetzt.

E

echt

Eine Teilmenge heißt echt, wenn sie nicht identisch ist mit der Grundmenge.

eindeutig

In älterer Literatur heißt eine injektive Abbildung eindeutig.
A. Beutelspacher rät in seinem Leitfaden zur Formulierung mathematischer Gedanken, das Wort eindeutig nur als Gegenteil von mehrdeutig zu verwenden.

eineindeutig

Von der Verwendung dieses Attributs ist abzuraten, da es uneinheitlich verwendet wird: überwiegend in der Bedeutung bijektiv, zuweilen aber auch in der Bedeutung injektiv.

einfach

Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie mindestens zwei Elemente und keinen nichttrivialen Normalteiler besitzt. Die Menge {e}, die nur das Einselement enthält, und die Gruppe selbst werden als triviale Normalteiler angesehen. Siehe auch Einfache Gruppe.
Ein Modul heißt einfach, wenn er keine echten Untermoduln hat.

einfach zusammenhängend

Ein topologischer Raum heißt einfach zusammenhängend, wenn in ihm jede geschlossene Kurve zu einem Punkt zusammengezogen werden kann.

elliptisch

In der Geometrie eine Kurve, die als Ellipse beschrieben werden kann.
In der Analysis sind die elliptischen Funktionen eine wichtige Klasse spezieller Funktionen; sie treten als Lösungen elliptischer Integrale auf.
Eine fundamentale Klasse partieller Differentialgleichungen heißt elliptisch.
Eine fundamentale Klasse nichteuklidischer Geometrien heißt elliptisch.
Eine elliptische Kurve ist eine singularitätenfreie algebraische Kurve der Ordnung 3 in der projektiven Ebene. Von besonderem Interesse z.B. für die Faktorisierung natürlicher Zahlen sind aufgrund ihrer einfachen Struktur elliptische Kurven der Form cy² = x³ + ax + b mit c ? 0 und 4a³ + 27b² ? 0.

endlich

Eine Menge heißt endlich, wenn ihre Mächtigkeit (die Anzahl ihrer Elemente) eine natürliche Zahl ist. Oder äquivalent: wenn keine Bijektion zwischen der Menge und einer ihrer Teilmengen existiert.
Ein Maß heißt endlich, wenn das Maß der Grundmenge ? des Maßraums eine endliche Zahl ist. Ein Maß heißt ?-endlich, wenn ? die abzählbare Vereinigung messbarer Mengen endlichen Maßes ist.
In der Gruppentheorie ist die Unterscheidung zwischen endlichen und unendlichen Gruppen fundamental.
In der Physik verwendet man das Wort endlich auch, um "von Null verschieden" zu sagen.

entartet

Eine bilineare Abbildung b (eine Bilinearform) heißt entartet, wenn es einen Vektor x ? 0 gibt, der für jeden Vektor y die Gleichung b(x, y) = 0 erfüllt. Das Gegenteil heißt regulär.

euklidisch

Ein euklidischer Raum ist in der Mathematik ein Raum, für welchen die Gesetze der euklidischen Geometrie gelten.
Eine Relation R heißt euklidisch, wenn aus xRy und xRz auch yRz folgt.

exakt

F

fast alle

Man sagt, dass eine Eigenschaft E für fast alle Elemente einer Menge oder Folge gilt, wenn sie für alle bis auf endlich viele gilt. Zum Beispiel gilt für eine konvergente Folge, dass in jeder Umgebung des Grenzwertes fast alle Folgeglieder enthalten sind.

fast überall

Man sagt, dass eine Eigenschaft E fast überall in einer Menge X gilt, wenn auf X ein Maß definiert ist und die Menge der Punkte, für die die Eigenschaft E nicht gilt, eine Nullmenge ist. Wenn die Menge X Teil eines Euklidischen Raums ist, die Punkte von X also reelle Koordinaten haben, legt man in der Regel das Lebesgue-Maß zugrunde. Siehe Nullmenge für weitere Erklärungen und Beispiele.

fraktal

frei

Aus nichtleeren Mengen kann man durch geeignete Konstruktionen algebraische Strukturen gewinnen, die gerade nur soviele Eigenschaften haben, wie von den Axiomen der Strukturen gefordert wird. Beispiele sind freier Gruppoid, freie Halbgruppe, freier Monoid, freie Gruppe, freie abelsche Gruppe.
Ein Modul heißt frei, wenn er eine Basis hat. Eine Basis ist hier ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

G

gleichmäßig beschränkt

gleichmäßig konvergent

Sei $D\subseteq\mathbb{R}$ . Eine Funktionenfolge $(f_n)\subset\left\{f:D\rightarrow\mathbb{R}\right\}$ heißt gleichmäßig konvergent gegen $f$ , wenn gilt: $\forall\varepsilon>0~\exists n_0\in\mathbb{N}~\forall n\in\mathbb{N}~\textrm{mit}~n\geq n_0,~\forall x\in D:|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$

gleichmäßig stetig

gleichgradig stetig

Sei $D\subseteq\mathbb{R}$ . Eine Menge von Funktionen $F\subseteq\left\{f:D\rightarrow\mathbb{R}\right\}$ heißt gleichgradig stetig genau dann, wenn $\forall \varepsilon>0~\exists \delta>0~\forall f\in F~\forall x,y\in D:\left|x-y\right|<\delta\Rightarrow\left|f(x)-f(y)\right|<\varepsilon$

gerade

Eine ganze Zahl heißt gerade, wenn sie durch 2 teilbar ist.
Eine Permutation ? heißt gerade, wenn sie eine gerade Anzahl von Fehlständen hervorbringt. Ein Fehlstand ist ein Paar i, j mit i<j aber ?(i)>?(j). Siehe alternierende Gruppe.

geordnet

...Ordnungsrelation
...Geordneter Körper

Grad

In der Geometrie ist das Grad Maß für die Größe eines ebenen Winkels.
In der Algebra ist der Grad eines Summanden in einem Polynom der Exponent, mit dem die Variable in diesem Term potenziert ist; der Grad des Polynoms ist der größte Grad eines in dem Polynom enthaltenen Summanden.
In der Darstellungstheorie ist der Grad der Darstellung die Dimension des Vektorraums, in dem die Darstellung stattfindet.
In der Graphentheorie ist der Grad einer Ecke die Anzahl der in dieser Ecke zusammentreffenden Kanten.
Für den Grad einer Karte zwischen Mannigfaltigkeiten, siehe [1] (http://en.wikipedia.org/wiki/Degree_(mathematics)#Degree_of_a_continuous_map).

größtes Element

Ein Element x einer halbgeordneten Menge heißt größtes Element, wenn alle anderen Elemente kleiner sind, d.h. für jedes Element y die Relation x ? y gilt. Das größte Element einer halbgeordneten Menge existiert nicht immer, ist aber im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt. Siehe auch maximal und kleinstes.

H

Hausdorffraum

Ein topologischer Raum ist ein Hausdorff-Raum, wenn das Trennungsaxiom T₂ gilt: jedes Paar von unterschiedlichen Punkten besitzt disjunkte Umgebungen.

hebbar

In der Funktionentheorie heißt eine Singularität hebbar (auch algebraisch oder regulär), wenn in der Entwicklung nach ganzzahligen Potenzen der komplexen Veränderlichen nur endliche negative Potenzen vorkommen.
Eine Definitionslücke, in die eine Funktion stetig fortgesetzt werden kann, heißt stetig behebbare Definitionslücke.

Hermitesch

In der linearen Algebra heißen zwei quadratische Matrizen Hermitesch adjungiert zueinander, wenn sie durch komplexe Konjugation und Transposition auseinander hervorgehen. Siehe adjungiert.
Eine quadratische Matrix heißt Hermitesch oder selbstadjungiert oder unitär, wenn sie zu sich selbst Hermitesch adjungiert ist. Unter dem Einfluss des Englischen scheint sich der Sprachgebrauch im Deutschen von Hermitesch zu unitär zu verschieben. Siehe deshalb unitär und unitäre Matrix für weitere Informationen.
Eine Hermitesche Form ist eine Sesquilinearform <,>: V×V?C mit $\langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}$ . Das innere Produkt in einem unitärem Raum ist per definitionem eine Hermitesche Form.
In der Funktionalanalysis heißt ein linearer Operator f auf einem Hilbert-Raum Hermitesch, wenn er selbstadjungiert und zusätzlich gewisse topologische Anforderungen erfüllt (so zumindest bei Dieudonné). In weniger formalen Darstellungen werden die Attribute Hermitesch und selbstadjungiert austauschbar gebraucht.

hinreichend

Eine Aussage A ist eine hinreichende Bedingung einer anderen Aussage B, wenn zwischen den beiden Aussagen die logische Beziehung "aus A folgt B" (kurz: A ? B) besteht. Der Gegenbegriff ist notwendig.

holomorph

In der Funktionentheorie heißt eine Funktion einer komplexen Variablen holomorph oder regulär in einem Bereich, wenn sie in diesem Bereich eindeutig ist und eine stetige Ableitung hat; diese Definition impliziert Stetigkeit der Funktion selbst.

homogen

Ein topologischer Raum R ist homogen, falls es für alle x und y aus R einen Homöomorphismus f: R?R gibt, so dass f(x) = y. Anschaulich gesagt bedeutet dies, dass der Raum an jedem Punkt gleich aussieht. Alle topologischen Gruppen sind homogen.
Ein lineares Gleichungssystem heißt homogen, wenn seine m Gleichungen in den n Unbekannten die Form a_j1x₁ + ... + a_jnx_n = 0 haben (für alle j aus 1,2,..,m). Wenn auf der rechten Seite in mindestens einer Gleichung eine andere Zahl als die 0 steht, heißt das Gleichungssystem inhomogen.
In der Zahlentheorie heißen Zahlen homogen, wenn sie aus den gleichen Primfaktoren aufgebaut sind. Beispiel: $60=2^2\times3\times5$ und $90=2\times3^2\times5$ .
Eine Funktion f zwischen Strukturen über einem gemeinsamen Grundring R (z.B. Vektorräume über demselben Körper, Moduln über demselben Ring) heißt homogen, wenn für alle x aus dem Definitionsbereich und alle a aus R die Gleichung f(a·x) = a·f(x) erfüllt ist. Ist sie darüberhinaus auch additiv, dann heißt sie lineare Abbildung.
Eine Funktion $f\colon \R^n \to \R$ heißt homogen vom Grad $p > 0$ , falls für alle $x \in \R^n$ und $a \in \R$ die Gleichung $f (a x) = a p f (x)$ gilt.

homöomorph

Zwei topologische Räume X und Y heißen homöomorph, falls es eine bijektive Abbildung f : X -> Y gibt, so dass f und f^-1 stetig sind. Vom Standpunkt der Topologie aus sind X and Y gleich. Die Funktion f wird Homöomorphismus genannt.

homotop

hyperbolisch

In der Geometrie eine Kurve, die als Hyperbel beschrieben werden kann.
Eine fundamentale Klasse partieller Differentialgleichungen heißt hyperbolisch.
Eine fundamentale Klasse nichteuklidischer Geometrien heißt hyperbolisch.
Ein zweidimensionaler Bilinearraum (V, b) heißt hyperbolische Ebene, wenn er zwei Vektoren x und y mit der Eigenschaft b(x,x) = 0, b(y, y) = 0, b(x, y) = 1 enthält.
Ein Bilinearraum, der als orthogonale Summe von hyperbolischen Ebenen dargestellt werden kann, heißt hyperbolischer Raum.

I

ideal

In der Zahlentheorie wurden gewisse auf komplexe Wurzeln der Eins (Einheitswurzeln) aufgebaute Zahlen von Ernst Kummer ideal genannt; diese Idee wurde von Dedekind in der abstrakt algebraischen Entität Ideal verallgemeinert.

indefinit

Die Matrix A heißt indefinit, wenn A mindestens einen positiven und einen negativen Eigenwert besitzt.

inhomogen

Für ein lineares Gleichungssystem siehe unter homogen.

injektiv

Eine Funktion heißt injektiv, wenn niemals zwei verschiedene Elemente denselben Funktionswert haben. Eine injektive Funktion ist auf ihrer Wertemenge eindeutig umkehrbar und heißt deshalb auch eineindeutig. Ein injektiver Homomorphismus heißt auch Monomorphismus.

invers

Zwei mathematische Operationen heißen invers zueinander, wenn sich ihre Wirkung aufhebt. Beispiel: Integration ist invers zur Differentiation.
Zwei Elemente einer Gruppe heißen invers zueinander, wenn ihre Verknüpfung das neutrale Element der Gruppe ergibt. Siehe Inverses Element.

invertierbar

In der linearen Algebra heißt eine quadratische Matrix A invertierbar, wenn die inverse Matrix A^-1 existiert. Dann gilt A A^-1 = A^-1 A = 1.

irrational

siehe irrationale Zahlen

irreduzibel

Ringtheorie: irreduzibles Element
Eine lineare Darstellung heißt irreduzibel, wenn sie nicht reduzibel ist, wenn also der Vektorraum, in dem die Darstellung stattfindet, keine nichttrivialen Unterräume hat, die unter allen darstellenden Transformationen erhalten bleiben. Die Klassifikation nach irreduziblen Darstellungen ist die Hauptaufgabe der Darstellungstheorie.

irreflexiv

Eine zweistellige Relation R heißt irreflexiv, wenn kein Element in Relation zu sich selbst steht: ¬ ? x: xRx. "Irreflexiv" ist somit nicht das Gegenteil von "reflexiv": eine Relation kann ohne weiteres weder reflexiv noch irreflexiv sein. Die Relation auf der leeren Menge ist sowohl reflexiv als auch irreflexiv. Eine irreflexive Ordnungsrelation heißt strikt.

isometrisch isomorph

Zwei metrische Räume heißen isometrisch isomorph, wenn sie durch eine bijektive Isometrie aufeinander abgebildet werden können.

isomorph

Zwei Mengen heißen isomorph, wenn sie durch einen Isomorphismus, also eine bijektive strukturerhaltende Abbildung aufeinander abgebildet werden können.

isotrop

Ein Element x eines Bilinearraumes (V, b) heißt isotrop, wenn die Gleichung b(x, x) = 0 gilt.

J

K

kanonisch

"Das Wort kanonisch wird für ein Objekt gebraucht, von dessen Sorte es zwar viele gibt, das aus seinen Artgenossen aber so deutlich herausragt, dass es «in gewissem Sinne» eindeutig ist. Sie merken: der Begriff ist schwammig - und wenn man ganz genau hinsieht, zerläuft er einem unter den Fingern. [...] Meine Meinung: Kanonisch ist ein Wort, das fast keine Bedeutung hat. Verwenden Sie es für die kanonische Basis des Vektorraums Kⁿ und sonst nicht!" A. Beutelspacher.
Die kanonische Basis des Vektorraums R³ ist {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. Achtung: nicht jeder Vektorraum hat eine kanonische Basis.
Die kanonische Abbildung ? eines Vektorraums V auf einen Faktorraum V/U ist durch ?(v)=v+U gegeben.

Klasse C^p

kleinstes

Ein Element x einer halbgeordneten Menge heißt kleinstes Element, wenn alle anderen Elemente größer sind, d.h. für jedes Element y die Relation x ? y gilt. Das kleinste Element einer halbgeordneten Menge existiert nicht immer, ist aber im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt. Siehe auch minimal und größtes.

Kolmogoroff'sch

Ein topologischer Raum ist ein Kolmogoroff-Raum, wenn das Trennungsaxiom T₀ gilt: zu jedem Paar von unterschiedlichen Punkten gibt es eine offene Menge, die einen Punkt enthält, jedoch nicht den anderen.

kommutativ

Eine zweistellige Verknüpfung · heißt kommutativ, wenn für alle x und y gilt, dass x·y = y·x.

kompakt

Ein topologischer Raum ist kompakt, falls jede offene Abdeckung eine endliche Unterabdeckung besitzt. Kompakte Räume sind immer lindelöf und parakompakt. Kompakte Hausdorff-Räume sind somit normal.
Eine Teilmenge $M$ eines metrischen Raumes heißt kompakt, wenn jede Folge in $M$ eine in $M$ konvergente Teilfolge besitzt.

komplementär

kongruent

Zwei geometrische Figuren heißen kongruent oder deckungsgleich, wenn sie durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung aufeinander abgebildet werden können. Siehe Kongruenz (Geometrie). Wird zusätzlich zentrische Streckung zugelassen, heißen die Figuren ähnlich.
In Algebra und Zahlentheorie heißen zwei Zahlen kongruent modulo m, wenn sie denselben Rest bezüglich eines Divisors m haben. Beispiel: 3 ? 24 mod 7. Siehe Kongruenz (Zahlentheorie).

konjugiert

Zwei Komplexe Zahlen a und b heißen komplex konjugiert zueinander, wenn ihre Realteile übereinstimmen und ihre Imaginärteile unterschiedliches Vorzeichen haben. Beispiel: die komplex Konjugierte von 2+i ist 2-i.
Matrizen heißen komplex konjugiert zueinander, wenn ihre Koeffizienten komplex konjugiert zueinander sind. Eine Matrix, die komplex konjugiert zu sich selbst ist, ist reell. Matrizen, die komplex konjugiert zu ihrer Transponierten ist, heißt Hermitesch.
In der Funktionalanalysis heißen lineare Operatoren komplex konjugiert zueinander, wenn ...
In der abstrakten Algebra heißen zwei über K algebraische Elemente einer Körpererweiterung L/K zueinander konjugiert, wenn sie dasselbe Minimalpolynom über K haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von a in L heißen Konjugierte von a (in L). Jeder K-Automorphismus von L (der K punktweise festhält) bildet a auf eine seiner Konjugierten ab.
In einer Gruppe (G, *) heißen die Elemente $a$ und $b$ zueinander konjugiert, wenn es ein Gruppenelement $c$ gibt, so dass $b = c - 1 a c$ ist. Die Abbildung $a \mapsto c^{-1}ac$ heißt Konjugation mit c. Sie ist ein Automorphismus der Gruppe.

L

lindelöf

Ein topologischer Raum ist lindelöf, falls jede offene Abdeckung eine abzählbare Unterabdeckung besitzt. Nach dem Mathematiker Ernst Leonhard Lindelöf.

linear

Eine Funktion der Form f(x) = a + bx heißt affin-linear. In der Elementarmathematik und vielen Anwendungen sagt man stattdessen nur linear. Das ist mit der folgenden, in weiten Teilen der Mathematik üblichen Definition von linear nur im Sonderfall a=0 kompatibel:
In der Algebra und zahlreichen darauf zurückgreifenden Gebieten der Mathematik heißt ein funktionaler Zusammenhang f(x) linear, wenn er folgende zwei Bedingungen erfüllt: (1) Superposition: f(x + y) = f(x) + f(y); (2) Homogenität: f(?x) = ?f(x) für alle ? aus einem zugrunde liegenden Körper.
In der Logik heißen Terme linear, wenn sie jede Variable höchstens einmal enthalten.
Die Funktionalanalysis handelt von linearen Operatoren.
Eine lineare Ordnungsrelation heißt auch total, siehe dort.

Lipschitz-stetig

lokal endlich

Ein System von Teilmengen eines topologischen Raums ist lokal endlich, falls jeder Punkt eine Umgebung hat, die nur endlich viele der Teilmengen berührt.

lokal Lipschitz-stetig

lokal metrisierbar

Ein topologischer Raum ist lokal metrisierbar, falls jeder Punkt eine metrisierbare Umgebung besitzt.

lokal zusammenhängend

lösbar

Eine Lie-Gruppe heißt lösbar, wenn sie weder einfach noch halbeinfach ist.

M

maximal

Ein Element einer halbgeordneten Menge heißt maximal, wenn es in der Ordnung kein größeres Element gibt. Dieses Element muss nicht das größte Element sein: Wenn es mehrere maximale Elemente gibt, gibt es kein größtes.
Ideal (Mathematik), Untermodul
Ein Orthonormalsystem S eines Hilbertraums H heißt maximal, wenn es in H außer dem Nullvektor keinen Vektor gibt, der zu allen Vektoren aus S orthogonal ist. Das heißt, es gilt für alle x aus H $\left( \langle x, u \rangle = 0 \ \forall u \in S \right) \Rightarrow x=0$ .

messbar

Messbarer Raum wäre die wörtliche Übersetzung des englischen measurable space, der auf Deutsch eingeführterweise Messraum heißt; siehe Maßtheorie. Die einzelnen Mengen der ?-Algebra eines Maßraums (d.h. eines Messraums, auf dem ein Maß definiert ist) heißen jedenfalls messbar; siehe auch dazu den Artikel Maßtheorie.
Messbar ist nicht das gleiche wie metrisierbar, da ein Maß keine Metrik ist.

metrisierbar

Ein topologischer Raum ist metrisierbar, falls er homöomorph zu einem metrischen Raum ist. Metrisierbare Räume sind immer Hausdorff'sch und parakompakt (und daher normal und Tychonoff'sch) und erst-abzählbar).

minimal

Ein Element einer halbgeordneten Menge heißt minimal, wenn es in der Ordnung kein kleineres Element gibt. Dieses Element muss nicht das kleinste Element sein: Wenn es mehrere minimale Elemente gibt, gibt es kein kleinstes.

multilinear

Eine Abbildung die Argumente aus mehreren Vektorräumen in einen Vektorraum abbildet, heißt multilinear, wenn sie in jedem Argument linear ist, wobei alle Vektorräume über demselben Skalarkörper definiert sein müssen. Eine multilineare Abbildung in den Skalarkörper ist eine Multilinearform.

multivariat

"Multivariat" bedeutet in mehreren Unbestimmten. Ein multivariates Polynom etwa ist ein Polynom in zwei oder mehr Unbestimmten. Siehe auch univariat

Beispiele:
univariates Polynom (in einer Unbestimmten): $x 2 + 3 x + 4$
multivariates Polynom (in mehreren - hier: drei - Unbestimmten): $3 x 2 y + y 2 z - x 2 z 3$

N

negativ

Eine reelle Zahl heißt negativ, wenn sie kleiner als Null ist. Eine Zahl, die kleiner oder gleich Null ist, bezeichnet man am kürzesten als nicht-positiv. Siehe positive und negative Zahlen.

negativ definit

Eine reelle symmetrische oder komplexe Hermitesche Bilinearform s:V×V?K heißt negativ definit, wenn s(v,v) < 0 für alle v aus V\{0}. Siehe auch positiv definit.

nilpotent

Ein Endomorphismus f eines Vektorraums oder eine quadratische Matrix A heißen nilpotent, wenn es eine Zahl p?1 gibt, so dass f^p=0 bzw. A^p=0.
Nilpotente Gruppe

nirgendwo dicht

Eine Teilmenge M eines topologischen Raums R ist nirgendwo dicht, wenn das Innere ihres Abschlusses leer ist. Beispiel: die Menge der ganzen Zahlen Z ist nirgendwo dicht in der Menge der reellen Zahlen R.

normal

In der Geometrie, insbesondere in der analytischen Geometrie, heißt eine Gerade normal zu einer Ebene, wenn sie senkrecht auf dieser steht.
In der Topologie heißt ein topologischer Raum normal, falls beliebige zwei disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte Umgebungen haben. Normalräume erlauben Zerlegungen der Eins. Normale T₁-Räume sind immer Tychonoff-Räume.
In der Statistik ist eine Zufallsvariable normal, wenn sie normalverteilt (Gauß-verteilt) ist.
In der Gruppentheorie sagt man im Deutschen statt normale Untergruppe üblicherweise Normalteiler. Ein Normalteiler ist invariant unter Konjugation beliebiger Gruppenelemente.
In der linearen Algebra heißt eine Matrix A normal, wenn sie mit ihrer komplex konjugierten Transponierten (Hermitesch Adjungierten) kommutiert, $A^{\dagger}A=AA^{\dagger}$ .
In der Funktionalanalysis heißt ein linearer Operator in einem Hilbert-Raum normal, wenn er mit seinem adjungierten Operator kommutiert.

normiert

Ein Normierter Raum ist ein Vektorraum, der mit einer Norm ausgestattet ist.
Ein Vektor in einem normierten Raum heißt normiert (oder Einheitsvektor), wenn er die Norm 1 hat.

notwendig

Eine Aussage A ist eine notwendige Bedingung einer anderen Aussage B, wenn zwischen den beiden Aussagen die logische Beziehung "aus B folgt A" (kurz: B ? A) besteht. Der Gegenbegriff ist hinreichend.

O

offen

Auf der reellen Zahlengerade heißt ein Intervall I := ]a,b[ = (a,b) offen, wenn es durch I = {x?R | a<x<b } gegeben ist.
Welche Teilmengen eines topologischen Raums offen heißen, wird axiomatisch in einer Weise festgelegt, die den Begriff des offenen Intervalls sinnvoll verallgemeinert.
Eine Menge die Umgebung aller ihrer Punkte ist heisst offen.

Ordnung

Die Ordnung einer Gruppe ist die Anzahl ihrer Elemente (die Mächtigkeit der der Gruppe zugrunde liegenden Menge).
In der Gruppentheorie ist die Ordnung n eines Gruppenelements g die kleinste positive ganze Zahl, für die gⁿ=e gilt (mit dem neutralen Element e).
Die Ordnung einer Nullstelle oder einer Polstelle ist dessen Vielfachheit.
Die Ordnung einer Differentialgleichung ist der höchste vorkommende Ableitungsgrad.
Die Ordnung eines Terms, mit einem Landu-Symbol O(x) bezeichnet, beschreibt die Geschwindigkeit, mit der dieser Term in einem Grenzübergang divergiert.
Ordnung kann außerdem Anordnung bedeuten, also die durch eine Ordnungsrelation induzierte Struktur bezeichnen.

orthogonal

In der Geometrie sind zwei Geraden oder Ebenen orthogonal zueinander, wenn sie einen rechten Winkel bilden.
Ein Koordinatensystem heißt orthogonal, wenn seine Achsen paarweise orthogonal zueinander sind.
Eine Projektion heißt orthogonal, wenn die Projektionsstrahlen senkrecht auf die Projektionsflläche treffen.
In der linearen Algebra und analytischen Geometrie sind zwei Vektoren orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
Da in der Funktionalanalysis Funktionen als Vektoren aufgefasst werden, folgt unmittelbar, dass zwei Funktionen f und g orthogonal zueinander heißen, wenn ihr inneres Produkt null ist; das innere Produkt in Funktionenräumen ist in der Regel definiert als Integral von f^*(x)g(x), gegebenenfalls multipliziert mit einer Gewichtsfunktion w(x).
Eine quadratische Matrix A heißt orthogonal, wenn ihre Inverse A^-1 mit ihrer Transponierten A^T übereinstimmt, wenn also A A^T = A^T A = 1. Siehe: orthogonale Matrix. Orthogonale Matrizen besitzen in aller Regel reelle Koeffizienten. Matrizen mit komplexen Koeffizienten, die analoge Symmetrieeigenschaften besitzen, heißen unitär; die Transposition wird dabei durch die Hermitesche Konjugation ersetzt.
Die Menge aller orthogonalen Matrizen vom Rang n über dem Körper K heißt orthogonale Gruppe O(n,K).

orthonormal

"Orthonormal" ist ein Kunstwort aus "orthogonal" (s.o) und "normiert", d.h. zwei Vektoren sind genau dann orthonormal zueinander (bzw. bilden dann ein so genanntes Orthonormalensystem), wenn sie orthogonal stehen und die Vektoren Einheitsvektoren sind (Vektoren der Länge 1).

P

parabolisch

In der Geometrie eine Kurve, die als Parabel beschrieben werden kann.
Eine fundamentale Klasse partieller Differentialgleichungen heißt parabolisch.

parakompakt

Ein topologischer Raum ist parakompakt, falls jede offene Überdeckung eine offene, lokal endliche Verfeinerung besitzt. Parakompakte Hausdorff-Räume sind normal.

perfekt

In der Zahlentheorie heißen natürliche Zahlen perfekt, wenn sie gleich der Summe ihrer Teiler sind. Beispiele: 6=3+2+1; 28=1+2+4+7+14. Ob es ungerade perfekte Zahlen gibt, ist bis heute unbekannt. Siehe vollkommene Zahl.

positiv

Eine reelle Zahl heißt nach vorherrschendem Sprachgebrauch positiv, wenn sie größer als Null ist. Zahlen, die größer oder gleich Null sind, werden am kürzesten als nicht-negativ bezeichnet. Siehe positive und negative Zahlen.

positiv definit

Eine reelle symmetrische oder komplexe Hermitesche Bilinearform s:V×V?K heißt positiv definit, wenn s(v,v) > 0 für alle v aus V\{0}. Siehe auch negativ definit.

präkompakt

Siehe total beschränkt oder relativ kompakt

prim

Eine natürliche Zahl (unter Ausschluss der 0 und der 1) heißt prim oder eine Primzahl, wenn sie genau zwei natürliche Teiler hat.
Allgemein heißt ein Element eines Integritätsrings prim, wenn es ungleich 0 und keine Einheit ist, und als Teiler eines Produkts auch immer einen der Faktoren teilt.

Pythagoräisch

Ein Pythagoräisches Tripel sind drei natürliche Zahlen $x, y, z$ , welche die aus dem Satz des Pythagoras bekannte Gleichung $x 2 + y 2 = z 2$ erfüllen. Beispiele: 3,4,5; 5,12,13. Siehe Pythagoräisches Tripel.

R

Rang

In der linearen Algebra ist der Rang einer linearen Abbildung die Dimension des Bildraums. Die Dimension einer Matrix ist die Dimension der durch die Matrix vermittelten linearen Abbildung.
Der Rang eines Tensors ist die Anzahl der Vektorräume, aus deren direktem Produkt der Tensor gebildet ist.
In Anlehnung an den Rang eines Tensors ist in der Informatik, jedenfalls in der Fachsprache von Fortran, der Rang eines Feldes (Arrays) die Anzahl seiner Indizes.
Für den Rang einer abelschen Gruppe siehe vorerst den englischen Artikel en:Rank of an abelian group.

rational

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die sich als Quotient aus zwei ganzen Zahlen darstellen läßt.
Eine rationale Funktion ist eine Funktion, die in die Menge der rationalen Zahlen abbildet.
Ein rationaler Baum ist ein möglicherweise unendlicher gerichteter Baum, der aber nur endlich viele verschiedene Unterbäume enthält.

reduzibel

Eine lineare Darstellung heißt reduzibel, wenn der Vektorraum, in dem die Darstellung stattfindet, nichttriviale Unterräume hat, die unter allen darstellenden Transformationen erhalten bleiben. Eine reduzible Darstellung kann in eine direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen ausreduziert werden.
Ringtheorie: reduzibles Element

reell

Natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen sind alle reell.
Komplexe Zahlen sind reell, wenn ihr Imaginärteil Null ist.
Eine Matrix ist reell, wenn ihre sämtlichen Koeffizienten reell sind.
Ein Körper heißt formal reell, wenn sein Element -1 nicht als Summe von Quadraten darstellbar ist.

reflexiv

Eine zweistellige Relation R heißt reflexiv, wenn jedes Element in Relation zu sich selbst steht: ? x: xRx. Wenn kein Element in Relation zu sich selbst steht, heißt die Relation irreflexiv.

regelmäßig

In der Geometrie heißen gleichseitige, gleichwinklige Vielecke und gleichflächige Körper (Platonische Körper) regelmäßig.

regulär

In der Geometrie werden regelmäßige Vielecke und Körper aufgrund schlechter Übersetzungen aus dem Englischen auch regulär genannt.
Eine parametrisierte differenzierbare Kurve heißt regulär, falls ihre Ableitung in keinem Punkt verschwindet.
In der Topologie heißt ein topologischer Raum regulär wenn jede Umgebung eines Punkts eine abgeschlossene Umgebung desselben Punkts enthält. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass alle abgeschlossenen Mengen C und Punkte p, die nicht in C liegen, disjunkte Umgebungen besitzen. Siehe Regulärer Raum. Reguläre T₀-Räume sind immer Hausdorff'sch.
In der linearen Algebra heißt eine invertierbare Matrix auch regulär.
In der Funktionentheorie wird regulär manchmal gleichbedeutend mit holomorph gebraucht.
In der Funktionentheorie bezeichnet man ferner eine hebbare (oder algebraische) Singularität als regulär.
In der theoretischen Informatik bezeichnet man eine formale Sprache als regulär, wenn sie durch einen regulären Ausdruck, eine reguläre Grammatik oder einen endlichen Automaten erkannt werden kann.
Eine Bilinearform, die nicht entartet ist, heißt regulär.

relativ kompakt (oder relativkompakt)

Eine Menge $F\subseteq\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ heißt relativ kompakt (oder präkompakt), wenn jede Folge aus $F$ eine in $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ konvergente Teilfolge besitzt. Dies ist äquivalent zu: jede Folge aus $F$ besitzt eine in $F$ gleichmäßig konvergente Teilfolge.
kurz: eine Teilmenge eines metrischen Raumes heißt relativ kompakt, wenn ihr Abschluss kompakt ist.

S

schließlich

Kurzform für "ab einem bestimmten Index".

selbstadjungiert

Als Eigenschaft einer quadratischen Matrix heißt selbtsadjungiert soviel wie Hermitesch oder unitär. Siehe: unitär, unitäre Matrix.
In der Funktionalanalysis heißt ein linearer Operator f auf einem Hilbert-Raum H selbstadjungiert, wenn das innere Produkt (,) für alle x und y aus H die Beziehung (x,fy)=(fx,y) erfüllt. Unter zusätzlichen topologischen Bedingungen heißt ein selbstadjungierter Operator auch Hermitesch.

seltsam

Ein Attraktor heißt seltsam, wenn er chaotisch oder fraktal ist.

semidefinit

Positiv semidefinit:
Negativ semidefinit:

semilinear

Eine Abbildung f: V?W zwischen zwei Vektorräumen über dem Körper C der komplexen Zahlen heißt semilinear (oder auch antilinear), wenn $f (v + w) = f (v) + f (w)$ und $f(\lambda v)=\overline{\lambda}f(v)$ mit v, w aus V und ? aus C. Der Strich über dem Koeffizienten ? bezeichnet komplexe Konjugation.

separabel

Ein topologischer Raum ist separabel falls er eine abzählbare dichte Teilmenge hat. Beispiel: Die Menge R ist separabel, weil Q dicht in R liegt.

sesquilinear

Eine Abbildung <,>: V×W?C (mit zwei Vektorräumen V, W und dem Körper C der komplexen Zahlen) heißt sesquilinear (anderthalbfach linear), wenn sie linear im einen und semilinear im anderen Argument ist, wenn also $\langle cx,dy \rangle=c\overline{d}\langle x,y \rangle$ oder, in der entgegengesetzten, ebenfalls gebräuchlichen Konvention, $\langle cx,dy \rangle=\overline{c}d \langle x,y \rangle$ . Das innere Produkt in einem unitären Raum ist eine Hermitesche Form, also eine Sesquilinearform <,>: V×V?C, die unter Vertauschung der beiden Argumente in ihr komplex Konjugiertes übergeht.

singulär

Eine quadratische Matrix heißt singulär, wenn sie nicht invertierbar ist.

speziell

Die spezielle lineare Gruppe SL(V), die spezielle orthogonale Gruppe SO(V), die spezielle unitäre Gruppe SU(V) entstehen aus der allgemeinen linearen Gruppe GL(V), der orthogonalenGruppe O(V) und der unitären Gruppe U(V) durch Beschränkung auf Matrizen mit der Determinante 1.

stetig

Eine Funktion von einem topologischen Raum in einen anderen heißt stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist.

strikt

Eine Relation "<" heißt strikte Halbordnung, wenn sie transitiv und irreflexiv ist, wenn es also kein Element x gibt, für das x<x.

surjektiv

Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedes Element der Wertemenge Funktionswert mindestens eines Elements der Definitionsmenge ist. Wenn man in dieser Definition mindestens durch genau ersetzt, erhält man die Definition von bijektiv. Eine surjektive Funktion heißt gelegentlich Surjektion, in bestimmtem Kontext auch Projektion. Ein surjektiver Homomorphismus von M nach N heißt auch Homomorphismus "von M auf N".

symmetrisch

Eine Relation R heißt symmetrisch, wenn aus a R b stets b R a folgt.
Eine Matrix heißt symmetrisch, wenn sie bei Austausch der Indizes (gleichbedeutend mit Spiegelung an der Hauptdiagonalen) in sich selbst übergeht, wenn also für ihre Koeffizienten gilt a_ij=a_ji. Eine symmetrische Matrix stimmt mit ihrer Transponierten überein. Viele Symmetrieeigenschaften reeller symmetrischer Matrizen gelten im Fall komplexer Koeffizienten nicht für symmetrische, sondern für Hermitesche Matrizen.
Die symmetrische Gruppe Sym_n oder S_n besteht aus allen Permutationen einer Menge mit n Elementen, Gruppenoperation ist die Verkettung der Permutationen.

T

teilbar

Ein Element a eines Integritätsrings R heißt teilbar durch ein Element b, wenn es ein Element c gibt, so dass die Gleichung a = b · c gilt. b und c heißen dann Teiler von a.

teilgeordnet

total

Eine Relation R heißt total oder linear, wenn je zwei Elemente in der Relation zueinander stehen, wenn also für jedes Paar von Elementen a, b gilt: a R b oder b R a. Ein Spezialfall davon ist der folgende Punkt:
Eine strenge Halbordnung "<" heißt total oder linear, wenn für jedes Paar verschiedener Elemente a, b gilt: a < b oder b < a.

total beschränkt

Äquivalente Bezeichnung: präkompakt

Salopp: Eine Menge heißt präkompakt, wenn sie sich mit endlich vielen epsilon-Kugeln überdecken lässt.

Exakt: Eine Menge M heißt präkompakt, wenn es zu jedem positiven reellen ? eine natürliche Zahl n gibt, so dass es Punkte m₁,...m_n gibt, so dass die Vereinung aller Kugeln mit Radius ? um die Punkte m_i gerade M enthält.

transitiv

Eine Relation R heißt transitiv, wenn aus xRy und yRz folgt, dass xRz.
In der Gruppentheorie ist eine Operation transitiv, wenn sie nur eine Bahn hat, also jedes Element durch ein geeignetes Gruppenelement auf jedes andere Element abgebildet wird. Die Operation heißt zweifach transitiv, wenn die Gruppe transitiv auf der Menge aller Paare operiert, sie heißt scharf transitiv, wenn jedes Element durch genau ein Gruppenelement auf ein gegebenes anderes Element abgebildet wird. Entsprechend gibt es die Begriffe dreifach transitiv, zweifach scharf transitiv etc.

transponiert

In der linearen Algebra heißen die Matrizen A = (a_ij) vom Format m×n und A^T = (a_ji) vom Format n×m zueinander transponiert.

transzendent

Eine Funktion heißt transzendent, wenn sie nicht durch eine endliche Anzahl elementarer Rechenoperationen dargestellt werden kann, also nicht algebraisch ist.
Eine komplexe Zahl heißt transzendent, wenn sie nicht algebraisch, also nicht Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist, siehe transzendente Zahl.
Ein Element einer Körpererweiterung heißt transzendent, wenn sie nicht algebraisch, also nicht Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus dem zu erweiternden Körper ist, siehe algebraisches Element.

treu

Eine Darstellung heißt treu, wenn der Darstellungshomomorphismus injektiv ist, wenn also verschiedene Gruppenelemente stets durch verschiedene Transformationen dargestellt werden.

trivial

Eine mathematische Aussage heißt trivial, wenn sie sich ohne jeden Zwischenschritt aus einer Definition oder einem Satz ergibt. Missbräuchlich wird dieses Attribut auch auf Aussagen angewandt, die auf einem gegebenen Niveau mit vergleichsweise elementaren Mitteln hergeleitet werden können (trivial ist, was der Prof nicht noch einmal erklären möchte).
Mathematische Objekte heißen trivial, wenn sich ihre Existenz unmittelbar aus einer Definition ergibt. Beispiel: Die trivialen Teiler einer natürlichen Zahl n sind 1 und n.

U

umkehrbar eindeutig

Soviel wie bijektiv.

unitär

In der abstrakten Algebra heißt ein Ring unitär oder Ring mit 1, wenn er ein bezüglich der Multiplikation neutrales Element besitzt.
Eine quadratische Matrix A heißt unitär, wenn ihre Inverse A^-1 mit ihrer Hermitesch Adjungierten $A^{\dagger}:=\overline{A}^{\rm T}$ übereinstimmt, wenn also $A A^{\dagger} = A^{\dagger} A = 1$ . Siehe: unitäre Matrix. Unitäre Matrizen haben komplexe Koeffizienten; unitäre Matrizen mit reellen Koeffizienten heißen orthogonal. Anders formuliert: Unitäre Matrizen sind das komplexe Analogon zu orthogonalen Matrizen.
Die Menge aller unitären Matrizen vom Rang n über dem Körper K heißt unitäre Gruppe U(n,K).
Ein Innenproduktraum (insbesondere also ein Hilbertraum) heißt unitär, wenn das innere Produkt eine positiv definite Hermitesche Form ist. Siehe unitärer Raum.

V

vollkommen

Eine natürliche Zahl heißt vollkommen (auch perfekt oder ideal), wenn sie die Summe ihrer

Dieser Artikel ( Glossar mathematischer Attribute ) stammt aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
und steht unter der GNU Free Documentation Licence.

+++ Mathe Formeln ++ Mathematik Lexikon ++ Lösungen ++ IMPRESSUM ++ Algebra ++ Lernen ++ Übungen ++ Schule ++ Geometrie +++