Mathe Genie Lexikon Gleichmäßige Stetigkeit Erklärung Bedeutung und Formel

Gleichmäßige Stetigkeit

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Gleichmäßige Stetigkeit ist ein Begriff aus der Analysis. Er bezeichnet einen Spezialfall der Stetigkeit.

Sei $M$ eine Teilmenge aus $\mathbb{R}^m$ , kurz $M\subseteq\mathbb{R}^m$ .

Eine Abbildung $f:M\rightarrow \mathbb{R}^n$ heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn $\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x_1,x_2\in M:\|x_1-x_2\|<\delta\Rightarrow \|f(x_1)-f(x_2)\|<\varepsilon$ .

In der Topologie wird oftmals folgende allgemeinere Definition verwendet:
Seien $(X, d x),(Y, d y)$ zwei metrische Räume.
Eine Abbildung $f:X\rightarrow Y$ heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn $\forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x_1,x_2\in X:d_x(x_1, x_2)<\delta\Rightarrow d_y(f(x_1), f(x_2))<\varepsilon$ .

Es gilt: Ist $f$ gleichmäßig stetig, dann ist $f$ auch stetig. Die Umkehrung gilt in aller Regel nicht. Eine Ausnahme bilden hier stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen (Satz von Heine), bzw. allgemein auf kompakten Mengen.

Ein Beispiel für eine stetige, aber nicht gleichmäßig stetige Funktion ist die Quadtratfunktion $f:x\mapsto x^2.$

Der Begriff ist vor allem wichtig bei der Untersuchung von Folgen von Funktionen. Der Grenzwert einer Folge von stetigen Funktionen ist nicht notwendigerweise stetig. Der Grenzwert einer Folge von gleichmäßig stetigen Funktionen dagegen schon.

Eine spezielle Form der gleichmäßigen Stetigkeit ist die Lipschitz-Stetigkeit.

Anschauliche "Erklärung" für gleichmäßige Stetigkeit im Fall $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
Man kann bei einer gleichmäßig stetigen Funktion ein Rechteck finden, das man derart überall am Graphen der Funktion entlang fahren lassen kann, dass die Funktion immer nur an den Seiten des Rechtecks in das Rechteck eindringt, bzw das Rechteck wieder verlässt.

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