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Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses immer weiter an
die theoretische Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis
(Erwartungswert) annähert, je häufiger das Zufallsexperiment durchgeführt wird.
| Inhaltsverzeichnis |
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1 Beispiel: Wurf einer Münze
1 Praktische Bedeutung
2 schwaches Gesetz der großen Zahlen
3 starkes Gesetz der großen Zahlen
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Beispiel: Wurf einer Münze
| Anzahl Würfe |
davon Kopf |
Verhältnis |
absoluter Abstand |
| theoretisch |
beobachtet |
theoretisch |
beobachtet |
| 100 |
50 |
48 |
0.500 |
0.480 |
2 |
| 1000 |
500 |
491 |
0.500 |
0.491 |
9 |
| 10000 |
5000 |
4970 |
0.500 |
0.497 |
30 |
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze beim Werfen Kopf zeigt, beträgt ½. Je häufiger die Münze geworfen wird, desto näher wird
der Anteil der Würfe, bei denen Kopf erscheint, beim theoretischen Wert ½ liegen. Trotzdem kann der absolute Abstand zwischen dem
theoretischen und dem tatsächlich beobachteten Ergebnis immer weiter anwachsen. Man kann also aus dem Gesetz der großen Zahlen nicht die Schlussfolgerung ziehen, wenn ein Ereignis bislang nicht so häufig eintrat
wie erwartet, muss es diesen Rückstand ausgleichen und folglich in Zukunft häufiger vorkommen.
Praktische Bedeutung
- Versicherungen: Das Gesetz der großen Zahl hat bei Versicherungen eine große praktische Bedeutung. Es
erlaubt eine ungefähre Vorhersage über den künftigen Schadensverlauf. Je größer die Zahl der versicherten Personen, Güter und
Sachwerte, die von der gleichen Gefahr bedroht sind, desto geringer ist der Einfluss des Zufalls.
Das Gesetz der großen Zahl kann aber nichts darüber aussagen, wer im einzelnen von einem Schaden getroffen wird.
Unvorhersehbare Großereignisse und Trends wie der Klimawandel, die die Berechnungsbasis von Durchschnittswerten verändern, können
das Gesetz zumindest teilweise unbrauchbar machen.
- Medizin: Beim Wirksamkeitsnachweis von medizinischen Verfahren kann man es ausnutzen, um Zufallseinflüsse
auszuschalten.
- Naturwissenschaften Der Einfluss von Messfehlern kann durch häufige Versuchwiederholungen reduziert
werden.
schwaches Gesetz der großen Zahlen
Das schwache Gesetz der großen Zahlen besagt, dass für eine unendliche Folge von Zufallsvariablen X1, X2,
X3, ... , die alle den selben Erwartungswert ? und
die selbe endliche Varianz ?2 haben sowie unkorreliert sind (d.h., der Korrelationskoeffizient zwischen zwei beliebigen Xi, Xj ist
Null), die repräsentative Stichprobe
stochastisch gegen ? konvergiert.
Die formale Definition lautet: Für jede positive Zahl ? (beliebig klein) gilt
Die Tschebyschow-Ungleichung wird zum Beweis
dieses Satzes verwendet.
starkes Gesetz der großen Zahlen
Das starke Gesetz der großen Zahlen besagt, dass für eine unendliche Folge von Zufallsvariablen X1, X2,
X3, ... , die unabhängig und identisch verteilt sind sowie den selben
Erwartungswert ? haben, gilt:
d.h. die repräsentative Stichprobe konvergiert fast sicher gegen ?.
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