Mathe Genie Lexikon Geometrische Reihe Erklärung Bedeutung und Formel

Geometrische Reihe

Eine Geometrische Reihe ist eine Summe von Ausdrücken, wobei zwei aufeinanderfolgende Ausdrücke das selbe Verhältnis haben. Zum Beispiel ist

4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256

eine geometrische Reihe mit einem Verhältnis von 2.

Die Summe einer geometrischen Reihe kann mit der Formel

$\sum_{k=m}^n x^k=\frac{x^{n+1}-x^m}{x-1}$

berechnet werden. Diese ist für alle natürlichen Zahlen m ? n und alle Zahlen x? 1 gültig (allgemeiner: für alle Elemente x in einem Ring, so dass x - 1 invertierbar ist). Die Formel kann überprüft werden, in dem man beide Seiten mit x - 1 multipliziert und dann vereinfacht.

Mit Hilfe der Formel kann obenstehende Summe berechnet werden:

$\frac{2^9-2^2}{2-1}= 508$

Die Formel ist auch für die Berechnungen von Zinszahlungen (vgl. Zinseszins) sinnvoll: Angenommen, man zahlt jährlich 2.000 ? bei der Bank ein und die Zinsen liegen bei 5%. Wieviel Geld hat man nach 6 Jahren?

2.000 · 1,05⁶ + 2.000 · 1,05⁵ + 2.000 · 1,05⁴ + 2.000 · 1,05³ + 2.000 · 1,05² + 2.000 · 1,05¹

= 2.000 · (1,05⁷ - 1,05)/(1,05 - 1)

= 14.284,02

Eine unendliche geometrische Reihe ist eine unendliche Reihe, wobei zwei aufeinanderfolgende Ausdrücke das selbe Verhältnis haben. So eine Reihe konvergiert genau dann, wenn das Verhältnis kleiner als Eins ist; der Wert kann dann mit der Formel

$\sum_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}$

berechnet werden. Diese ist gültig für |x| < 1; das folgt aus der obenstehenden Formel für endliche geometrische Reihen, wenn man den Grenzwert für n?? bildet.

Die letzte Formel ist sogar in jeder Banach-Algebra gültig, solange die Norm von x kleiner als 1 ist.

Weitere nützliche Formel:

$\sum_{k=0}^\infty k\cdot x^k=\frac{x}{(1-x)^2}$

Diese Formel ist ebenfalls nur für |x| < 1 gültig.

Partialsumme

Die Partialsumme der geometrischen Reihe lässt sich wie folgt berechnen:

$s_n = \sum_{k=0}^n a \cdot q^k = a + a \cdot q + a \cdot q^2 + \dots + a q^n = a (1 + q + q^2 + \dots + q^n)$

Vereinfacht:

$s_n = a (1 + q + q^2 + \dots + q^n)$

Durch Multiplikation mit $q$ ergibt sich:

$q \cdot s_n = a (q + q^2 + q^3 + \dots + q^{n+1})$

Wenn man beide voneinander subtrahiert erhält man:

$s_n - q \cdot s_n = a (1 - q^{n+1})$

$s_n = {{a (1 - q^{n+1})} \over {1 - q}}$

Davon wird nun der Grenzwert gebildet:

$\lim_{n \rightarrow \infty} s_n = \sum_{k=0}^\infty a q^k = a \cdot {1 \over {1 - q}}$

Solange der Betrag von q kleiner 1 ist, konvergiert die geometrische Reihe. Sollte der Betrag größer 1 sein, divergiert sie.

Siehe auch

Geometrische Reihe

Siehe auch

Reihe

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