Mathe Genie Lexikon Geburtstagsproblem Erklärung Bedeutung und Formel

Geburtstagsproblem

Als Geburtstagsproblem (manchmal auch Geburtstagsparadoxon) wird die Tatsache bezeichnet, dass von 23 (z.B 2 Fußballmannschaften plus Schiedsrichter) willkürlich ausgewählten Personen bei einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Es handelt sich nicht um ein echtes Paradoxon, weil die Aussage nicht sich selbst widerspricht. Sie wird lediglich als Paradoxon bezeichnet, weil sie viele Betrachter auf den ersten Blick unwahrscheinlich finden.

Im Gegensatz dazu steht die Wahrscheinlichkeit, dass jemand an einem ganz bestimmten Tag Geburtstag hat (z.B. am 1. April) Für diesen Fall sind 253 Personen notwendig, um eine Wahrscheinlichkeit von 50% zu erreichen.

Der Grund für diesen großen Unterschied liegt darin, dass es bei N Personen N*(N-1)/2 verschiedene Paare gibt, die am gleich Tag Geburtstag haben könnten. Die Häufigkeit für das Zusammentreffen bzw. Kollidieren zweier Geburtstage steigt daher mit dem Quadrat der Anzahl N an (für kleine Werte von N).

Dieser Effekt hat eine Bedeutung bei Funktionen, kryptographischen Hashfunktionen, die einen eindeutigen Prüfwert aus einem Text ergeben sollen. Es ist dabei viel einfacher, zwei zufällige Texte zu finden, die den gleichen Prüfwert haben, als zu einem vorgegebenen Text einen weiteren zu finden, der den gleichen Prüfwert aufweist.

Mathematische Herleitungen

Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Tag

Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit, an einem bestimmten Tag Geburstag zu haben: $p={1\over365}\approx0.27%$

Demzufolge ist die (Gegen-)Wahrscheinlichkeit, an einem bestimmten Tag nicht Geburstag zu haben: $q=1-{1\over365}\approx99.73%$

Bei 2 unabhängigen Versuchen ist die Wahrscheinlichkeit, keinen Treffer zu haben: $Q = q 2$

Dabei mindestens einen Treffer zu haben ist wieder die Gegenwahrscheinlichkeit. Also: $P = 1 - q 2$

Allgemein ausgedrückt ist die Wahrscheinlichkeit, mit der mindestens eine Person von r anwesenden Personen an einem bestimmten Tag Geburtstag hat: $W=1-(1-{1\over365})^{r}$

Damit läßt sich ausrechnen, wieviele Personen r man braucht, um eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zu erreichen, dass mindestens eine Person an einem bestimmten Tag Geburtstag hat:

${(1-{1\over365})^{r}=1-p}$

$\Leftrightarrow {ln((1-{1\over365})^{r}) = ln(1-p)}$

$\Leftrightarrow {r >= {{ln(1-p)}\over{ln(1-{1\over365})}}}$

Für eine Wahrscheinlichkeit von 50% benötigt man:

${r >= {{ln(0,5)}\over{ln(1-{1\over365})}}}\approx 253$ Teilnehmer

Wahrscheinlichkeit, dass 2 Personen an einem Tag Geburtstag haben

Die Anzahl aller möglichen Fälle ist $m = 365 r$ . Zum Beispiel ergeben sich für zwei Personen $3652 = 133225$ mögliche Kombinationen von Geburtstagen.

Weiterhin ist die Anzahl der Fälle, in denen nur unterschiedliche Geburtstage vorkommen, $u = 365 \cdot 364 \cdot \dots \cdot (365 - r +1) = \frac{365!}{(365-r)!}$ . Die erste Person kann den Geburtstag frei wählen, für die zweite gibt es dann 364 Tage, an denen die erste nicht Geburtstag hat.

Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit von $\frac{u}{m}=\frac{365!}{(365-r)!\cdot365^r}$ , dass alle r Personen an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben.

Die Wahrscheinlichkeit für einen doppelten Geburtstag ist somit $P=1-\frac{u}{m}=1-\frac{365!}{(365-r)!\cdot365^r}$ .

Durch Probieren oder Ausrechnen mit einem Mathematik-Programm kommt man zu dem Ergebnis, dass für eine Wahrscheinlichkeit von mindestens 50% nur 23 Personen gebraucht werden, damit mindestens 2 am gleichen Tag Geburtstag haben.

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