Mathe Genie Lexikon Gaußklammer Erklärung Bedeutung und Formel

Gaußklammer

In der Mathematik ist die Ganzzahl-Funktion (auch Abrundungsfunktion oder Gauß-Klammer, engl. floor function) eine folgendermaßen definierte Funktion:

Für eine reelle Zahl x ist floor(x) die größte ganze Zahl, die kleinergleich x ist.

Man schreibt die Ganzzahl-Funktion auch als [x] oder als $\lfloor x \rfloor$ .

Zum Beispiel ist floor(2,3) = 2, floor(-2,3) = -3, floor(2) = 2.

Es gilt immer

$\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor+1$

Dabei ist floor(x)=x genau dann, wenn x eine ganze Zahl ist. Für jede ganze Zahl k und jede reelle Zahl x gilt

$\lfloor x+k \rfloor = \lfloor x \rfloor+k$

Die gewöhnliche Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl erreicht man mit floor(x + 0,5).

Die Ganzzahl-Funktion ist nicht stetig, aber oberhalbstetig.

Eine eng verwandte Funktion ist die Aufrundungsfunktion (engl. ceiling function), die so definiert ist:

Für jede reelle Zahl x ist ceiling(x) die kleinste ganze Zahl, die größergleich x ist.

Man schreibt diese Funktion auch als $\lceil x \rceil$ .

Zum Beispiel ist ceiling(2,3) = 3, ceiling(-2,3) = -2, ceiling(2) = 2.

Es ist stets

$\lceil x \rceil = - \lfloor -x \rfloor$

und

$\lceil x \rceil \ge x > \lceil x-1 \rceil$

Für jede ganze Zahl k gilt

$\lfloor k/2 \rfloor + \lceil k/2 \rceil = k$

Sind m und n teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt

$\sum_{j=1}^{n-1} \left\lfloor \frac{jm}{n} \right\rfloor = \frac{(m-1)(n-1)}{2}$

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