Mathe Genie Lexikon Gammafunktion Erklärung Bedeutung und Formel

Gammafunktion

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

2 Darstellungsformen

3 Der Satz von Bohr-Mollerup

4 Funktionalgleichungen

5 Geschichtliches

6 Literatur

7 Weblinks

Definition

Die Gammafunktion ist eine meromorphe Funktion, die definiert wird als

$\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \mathrm{d}t$

für x > 0. Die Gammafunktion besitzt keine Nullstellen.

Sie ermöglicht die Berechnung der Fakultätsfunktion für nicht-ganzzahlige Werte und dient als Grundlage für die Definition der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Für ganzzahlige positive Werte gilt

?(n) = (n - 1)!

was sich aus der Funktionalgleichung

$\Gamma(x+1) = x\cdot\Gamma(x)$

induktiv ergibt.

Darstellungsformen

Eine weitere Ausweitung des Definitionsbereichs erlaubt die Darstellung der Gammafunktion nach Gauß:

$\Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n!\,n^x}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)} \;\hbox{für}\; x \in \mathbb{R}\backslash \{0, -1, -2, \dots\}.$

Direkt aus der Gaußschen Darstellungsform abgeleitet ist diejenige von Karl Weierstraß:

$\Gamma(x) = \left[ x \cdot \mathrm{e}^{\gamma x} \cdot \prod_{k=1}^{\infty} \left(1+\frac{x}{k}\right)\mathrm{e}^{-x/k} \right]^{-1},$

wobei die Eulersche Konstante ? definiert ist als

$\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n \right).$

Näherungswerte der Gammafunktion für x > 0 liefert die Stirlingsche Formel

$\Gamma(x) = \sqrt{2\pi}x^{x-1/2}\mathrm{e}^{-x+\mu(x)} \; \hbox{mit} \; 0 < \mu(x) < \frac{1}{12x}.$

Der Satz von Bohr-Mollerup

Der Satz von Bohr-Mollerup (1922) erlaubt eine erstaunlich einfache Charakterisierung der Gammafunktion.

Theorem: Eine Funktion G : (0;?) ? ist in diesem Bereich die Gammafunktion, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

G (1) = 1
G (x+1) = x · G (x)
G ist logarithmisch konvex

Funktionalgleichungen

Der Ergänzungssatz der Gammafunktion

$\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin \pi x}$

erleichtert die Berechnung von Werten der Gammafunktion aus bereits bekannten Funktionswerten ebenso wie die Legendresche Verdopplungsformel

$\Gamma\left(\frac{x}{2}\right)\Gamma\left(\frac{x+1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{x-1}}\Gamma(x).$

Geschichtliches

1730 stellte Leonhard Euler in einem Brief an Christian Goldbach folgendes Integral zur Interpolation der Fakultätsfunktion vor:

$\Gamma(x) = \int_0^1 \left[\ln\left(\frac{1}{t}\right)\right]^{x-1} \mathrm{d}t$

(diese Funktionsdefinition geht durch die Substitution u = ln (1/t) in die obige Form über)

Dieses Integral entdeckte Euler bei der Untersuchung eines Problems aus der Mechanik, bei dem die Beschleunigung eines Partikels betrachtet wird.

Literatur

E. Artin Einführung in die Theorie der Gammafunktion. Leipzig, Teubner 1931.
(nur noch in Bibliotheken erhältlich)
K. Königsberger Analysis I. Heidelberg, Springer 2003, ISBN 3-540-40371-X.

Weblinks

Die Gammafunktion bei Wolfram MathWorld (http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html)

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