Ein Fünfeck (griech. pentagon) ist ein geometrisches Objekt. Es ist definiert durch fünf Punkte. Sofern nichts anderes gesagt wird, ist meist von einem ebenen Fünfeck die Rede. Ein ebenes Fünfeck besitzt einen eindeutig bestimmbaren Flächeninhalt, welcher sich stets durch Zerlegen in Dreiecke berechnen lässt. Die Summe seiner Innenwinkel beträgt stets 540°.

Reguläres Fünfeck

Formel für die Flächenberechnung

Die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks der Seitenlänge a ist das Fünffache der von seinem Mittelpunkt und zwei seiner Ecken aufgespannten Dreiecks.

Allgemein mit dem Umkreisradius r_u

Geometrie des Fünfecks

Verschachteltes Pentagramm

Das reguläre Fünfeck besitzt einen Innenwinkel von 108° (siehe Grafik). Die Ebene lässt sich nicht mit regulären Fünfecken lückenlos und überdeckunsfrei bedecken. Jedoch lässt sich aus 12 regulären Fünfecken im Raum ein reguläres Dodekaeder aufspannen.

Die Diagonalen des Fünfecks bilden das Pentagramm (fünfzackiger Stern), in dessen Inneren sich wiederum ein - kopfstehendes - regelmäßiges Fünfeck befindet, welches seinerseits ein kopfstehendes Pentagramm beinhaltet. Dieses Muster kann in beide Richtungen (nach innen und außen) unendlich weitergeführt werden.

Der spitze Winkel im "Zacken" des Pentagramms misst 36°, also ein Drittel des 108°-Winkels des Fünfecks. Diese 108° finden sich ihrerseits im stumpfen Außenwinkel des Pentagramms wieder, so dass auch hier weitere Fünfecke gebildet werden können, was dann ein sehr komplexes Muster ergeben kann.

siehe auch: Arabesken

Der Goldene Schnitt im Fünfeck

Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite des Fünfecks befindet sich im goldenen Verhältnis zu seiner Diagonalen. Die Diagonalen untereinander teilen sich wiederum im goldenen Verhältnis.

Konstruktion eines Fünfecks mit dem Zirkel

Die Erläuterung zu nebenstehender Abbildung (empfohlen, sie im größeren Format in einem neuen Browser-Fenster zu öffnen):

1. Einen umschließenden Kreis des Radiuses r um Mittelpunkt M schlagen (blau) und die Mittelsenkrechten (rot) einzeichnen
2. Mit r um A einen Kreis (gelb) schlagen zur Bestimmung von D zwischen B und C. (D halbiert die Strecke A bis M)
3. Um D einen Bogen von E nach F schlagen (grün)

Die Strecke E bis F entspricht der Seitenlänge des zu konstruierenden Fünfecks. Sie kann nun um E von F auf den Kreis nach G geschlagen werden (orange) und von dort aus zur nächsten Ecke des Fünfecks usw.

Konstruktion eines Fünfecks in neinem umschließenden Kreis

Bedeutung des Fünfecks im Festungsbau

Der Grundriss einer neuzeitlichen bastionierten Festung hat sehr häufig die Form eines Fünfeckes. Die Ursache dafür liegt in der Tatsache, dass sich eine so geformte Festung besonders leicht mit Feuerwaffen verteidigen ließ. Anschauliche Beispiele sind die vollständig erhaltene Festung Bourtange in den Niederlanden und die nur noch teilweise vorhandene Zitadelle der Festung Wesel.
Auch das Pentagon nutzt das Fünfeck als Grundriss und spielt damit auf diesen alten Grundsatz der Konstruktion von Festungen an.