Mathe Genie Lexikon Funktion (Mathematik) Erklärung Bedeutung und Formel

Funktion (Mathematik)

Dieser Artikel enthält mathematische Symbole. Diese werden in der Tabelle mit mathematischen Symbolen erläutert.

Eine Funktion - häufig wird synonym auch Abbildung verwendet - drückt die Abhängigkeit einer Größe von einer anderen aus. Traditionell wurden Funktionen als Regel oder Vorschrift definiert, die eine Eingangsgröße (Argument, meist x) in eine Ausgangsgröße (Funktionswert, meist y) transformiert (überführt).

In der Schulmathematik lernt man beispielsweise einfache Funktionen kennen wie: y = 2x + 3 oder y = x².

Die Mathematik definiert Funktionen in den Begriffen der Mengenlehre.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

1.1 Schreibweisen und Sprechweisen

2 Beispiele

3 Wichtige Begriffe

4 Eigenschaften von Funktionen

5 Funktionen die Strukturen beachten

6 Reelle Funktionen

7 Algebraische Funktionen

8 Anlytische Funktionen

9 unsortiert

10 Reelle Funktionen die nicht analytisch sind

11 Weitere Funktionen

12 Siehe auch

13 Externe Verweise

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Definition

Eine Funktion f weist jedem Element einer Definitionsmenge (Definitionsbereich) A (dem x-Wert) genau ein Element einer Wertemenge (Wertebereich) B (den y-Wert) zu. Eine Funktion hat demnach zwei wichtige Eigenschaften:

1. Jedem x-Wert wird eine y-Wert zugeordnet

2. Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert zugordnet.

Die dazugehörige Zuordnungsvorschrift nennt man Funktionsgleichung. Eine Funktion ist daher eine linkstotale und linksseindeutige Relation. Die Funktions-Eigenschaft ist also: $\forall \left( f:A \to B \right):\forall \left( a \in A \right):\exists ! \left( b \in B \right):\left( \left( a,b \right) \in f \right)$

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Schreibweisen und Sprechweisen

$f\colon A \to B$
(bzw. f: A -> B im Textmodus) statt f ? A × B,

"Funktion f von A nach B"

$f\colon x \mapsto f(x)$
(bzw. f: x -> f(x) im Textmodus) oder y = f(x) statt (x,y) in f.

"x wird abgebildet auf f von x"

"y ist f von x".

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Beispiele

Die Normalparabel: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\;\; x \mapsto f(x)=x^2$

Die Nachfolger-Funktion: $s:\mathbb{N} \to \mathbb{N},\;\; x \mapsto s(x)=x+1$

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Wichtige Begriffe

Das Bild (engl.: image) eines Elements x der Definitionsmenge ist einfach f(x).
Das Bild einer Funktion ist die Menge aller Bilder, also f(A) = { f(x) : x in A }
Das Urbild eines Elements y der Wertemenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsbereichs, deren Bild y ist. Man schreibt f ^-1(y) = { x in A : f(x) = y }. Man sagt aus Faser von y.
Das Urbild einer Teilmenge M der Wertemenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsbereichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist. f ^-1(M) = { x in A : f(x) in M }.
Die Komposition ist die Verknüpfung von Funktionen durch Hintereinanderausführung (f o g)(x) = f(g(x)).
Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Wertemenge das Urbildelement zu. (Bei bijektiven Funktionen hat das Urbild jedes Elements genau ein Element.)
Ein Fixpunkt ist ein Element x des Definitionsbereich von f, für das f(x) = x gilt.

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Eigenschaften von Funktionen

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs maximal ein Urbild hat.
Sie ist surjektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs mindestens ein Urbild hat.
Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Sie ist idempotent, wenn f(f(x))=f(x) für alle Elemente x des Definitionsbereichs gilt.

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Funktionen die Strukturen beachten

Monotonie
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
glatte Funktion
Integrierbarkeit
holomorphe Funktion
Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z.B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions- und der Wertemenge "Rücksicht nehmen", werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorientheorie.

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Reelle Funktionen

Es gibt unterschiedlichste Unterscheidungmerkmale und somit auch viele Namen für einzelne Funktionstypen. Hier eine Einteilung reeller Funktion:

$f:{\mathbb R} \longrightarrow {\mathbb R}$

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Algebraische Funktionen

algebraische Funktion
- homogene lineare Funktion (auch: Proportionalität): allgemein beschrieben durch f(x) = m·x ; ist ein Homomorphismus bezüglich der Addition
- allgemeine lineare Funktion (oder affine Funktion): allg. beschrieben durch f(x) = m·x + n
- Quadratische Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a·x² + b·x + c (s. Quadratische Gleichung)
- Potenzfunktion
- Polynom-Funktion: allg. beschrieben durch f(x) = a_n·xⁿ + a_n-1·x^n-1 + ... + a₁·x + a₀ oder
  $f(x) = \sum_{i=0}^n a_i\cdot x^i$
- Rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, f(x) = g(x)/h(x)
- Wurzelfunktion: besteht aus gebrochenrationalen Funktionen verknüpft durch die Grundrechenarten und Wurzelausdrücke