Eine Fundamentallösung ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Mit Hilfe einer Fundamentallösung kann man spezielle Lösungen für diese Gleichungen konstruieren.

Mathematische Definition

Falls L ein linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten ist, dann ist eine Fundamentallösung G(x) definiert als distributionelle Lösung von

LG(x) = ?(x)

Hier ist ?(x) die Dirac'sche Delta-Funktion.

Anwendung

Falls eine Fundamentallösung bekannt ist, erhält man eine Lösung der Gleichung Lu(x) = f(x) durch Faltung:

Theorie

Für viele Differentialgleichungen ist eine Fundamentallösung bekannt, etwa die Poisson-Gleichung, die Wärmeleitungsgleichung, die Wellengleichung und die Helmholtz-Gleichung. Allgemein gilt der Satz von Ehrenpreis-Malgrange, wonach jede partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung besitzt.