Mathe Genie Lexikon Fraktal Erklärung Bedeutung und Formel

Fraktal

Berühmtes Fraktal: die Mandelbrot-Menge

Fraktal (Adjektiv oder Substantiv) ist ein von Benoit Mandelbrot (1977) geprägter Begriff (aus dem lateinischen adjektiv: fractus; von dem lat. Verb frangere: brechen, in Stücke zerbrechen, irregulär), der alle natürlichen oder künstlichen Gebilde oder Muster bezeichnet, die einen hohen Grad von Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit aufweisen.

Mandelbrot benutzte den Begriff der verallgemeinerten Dimension nach Hausdorff und stellte fest, dass fraktale Gebilde als Räume (oder mathematische Gebilde) mit einer nicht-ganzzahligen Dimension angesehen werden können. (Zur Erinnerung: ein Zahlenstrahl oder eine Linie hat die Dimension 1, eine Fläche die Dimension 2, ein Raum die Dimension 3.) Daher wird nach ihm alles, was eine gebrochene Dimension aufweist, als Fraktal bezeichnet. In Mandelbrots Worten:

A fractal is by definition a set for which the Hausdorff-Besicovitch dimension strictly exceeds the topological dimension.

Ein Fraktal ist laut Definition eine Menge, deren Hausdorff-Besikowitsch Dimension (auch: "fraktale Dimension") ihre topologische Dimension echt übersteigt.

Viele Fraktale bestehen aus einer bestimmten Anzahl von verkleinerten Kopien ihrer selbst. Ist dieser Verkleinerungsfaktor in diesem Fall für alle Kopien der selbe, dann gilt für die Hausdorff-Dimension $D$

$D = \frac{\log(\mbox{Anzahl selbstähnlicher Teile})} {\log(\mbox{Verkleinerungsfaktor})}$

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele

2 Verfahren zur Erzeugung von Fraktalen

3 Fraktale, die sich geometrisch konstruieren lassen

4 Fraktale in der Natur

5 Literatur

6 Siehe auch

7 Weblinks

7.1 Computerprogramme

Beispiele

Linie, Quadrat, Koch'sche Schneeflocke, ...

Die Selbstähnlichkeit muss nicht perfekt sein, wie die erfolgreiche Anwendung der Methoden der fraktalen Geometrie auf natürliche Gebilde wie Bäume, Wolken, Küstenlinien, etc. zeigen. Die genannten Objekte sind in mehr oder weniger starkem Maß selbstähnlich strukturiert (ein Baumzweig sieht ungefähr so aus wie ein verkleinerter Baum), die Ähnlichkeit ist jedoch nicht streng, sondern stochastisch. Im Gegensatz zu Formen der euklidischen Geometrie, die bei einer Vergrößerung oft flacher und flacher und damit einfacher werden (z.B. Kreis), können bei Fraktalen immer komplexere und neue Details auftauchen.

Mandelbrot fand heraus, dass kein Fraktal in der Ebene eine Dimension größer als e haben kann. (?)

Fraktale Muster werden oft durch rekursive Operationen erzeugt. Auch einfache Erzeugungsregeln ergeben nach wenigen Rekursionsschritten schon komplexe Muster.

Fraktaler Baum

Ein künstlich erzeugter Baum. Siehe Applet (http://www-lehre.informatik.uni-osnabrueck.de/~cg/2000/skript/8_8_Beispiel_Applet_zu.html).

Ein Fraktal im dreidimensionalen Raum ist der Menger-Schwamm.

Ein weiteres Fraktal ist das Newton-Fraktal:

Es wird über das Newton-Verfahren, das zur Nullstellenberechnung verwendet wird, berechnet.

Verfahren zur Erzeugung von Fraktalen

Fraktale können auf viele verschiedene Arten erzeugt werden, doch alle Verfahren beinhalten ein rekursives Vorgehen. Mögliche Verfahren sind:

Die Iteration von Funktionen ist die einfachste und bekannteste Art, Fraktale zu erzeugen; die Mandelbrot-Menge entsteht so. Eine besondere Form dieses Verfahrens sind IFS (Iterierte Funktionensysteme), bei denen mehrere Funktionen kombiniert werden. So lassen sich natürliche Gebilde erstellen.
Dynamische Systeme erzeugen fraktale Gebilde, so genannte seltsame Attraktoren.
L-Systeme, die auf wiederholter Textersetzung beruhen, eigenen sich sehr gut zur Modellierung natürlicher Gebilde wie Pflanzen und Zellstrukturen.

Fraktale, die sich geometrisch konstruieren lassen

Kochsche Schneeflocke

Pfeilspitzen-Fraktal

Gosper-Kurve

Penta Plexity

Fraktal	L-System	Winkel	Strecken-Verhältnis
Drachenkurve	F -> R R -> +R--L+ L -> -R++L-	45°	$1:1/\sqrt{2}$
Gosper-Kurve	F -> R R -> R+L++L-R--RR-L+ L -> -R+LL++L+R--R-L	60°	$1:1/\sqrt{7}$
Hilbert-Kurve
Koch-Kurve	F -> F+F--F+F	60°	1:1/3
Peano-Kurve
Penta Plexity	F++F++F++F++F F -> F++F++F\|F-F++F	36°	$1:1/\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2$
Pfeilspitze	F -> R R -> -L+R+L- L -> +R-L-R+	60°	1:1/2
Sierpinski-Dreieck
Sierpinski-Teppich

Fraktale in der Natur

Sehr leicht kann man Fraktale auch in der Natur und im täglichen Leben beobachten. Sofort fällt einem die fraktale Struktur bei der grünen Blumenkohlzüchtung Romanesco und bei Farnen in das Auge. Auch bei bestimmten Bäumen kann man eine fraktale Struktur erkennen.

Literatur

Herbert Voß: Chaos und Fraktale selbst programmieren, franzis', ISBN 3-772-37003-9
Horst Halling / Rolf Möller: Mathematik fürs Auge - Eine Einführung in die Welt der Fraktale, Spektrum, ISBN 3-860-25427-8
Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur, Birkhäuser, ISBN 3-764-32646-8
Heinz-Otto Peitgen, Peter H. Richter: The Beauty of Fractals. Images of Complex Dynamical Systems, Springer, ISBN 0-387-15851-0 bzw. ISBN 3-540-15851-0
Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe: The Science of Fractal Images, ISBN 0-387-96608-0

Siehe auch

Chaostheorie, Apfelmännchen, Julia-Menge, Chaos-Spiel, Menger-Schwamm, Lindenmayer-Systeme, Digitale Kunst

Weblinks

http://www.fractalcenter.de/
Fraktale und andere Themen der Computergraphik (http://home.t-online.de/home/Siegfried.Beyer/)
Liste von benannten Fraktalen (http://www.meden.demon.co.uk/Fractals/), englisch
Gospersches Fraktal (http://www.mathcurve.com/fractals/gosper/gosper.shtml)
Programmierung (http://www.game-face.de/article.php3?id_article=21)

Computerprogramme

FractInt, für viele Plattformen (http://spanky.triumf.ca/www/fractint/fractint.html)
XaoS - der Fraktal-Navigator im GNU-Projekt (http://www.gnu.org/software/xaos/xaos.html), letzte Version von 1997
Fraktal Generator (http://www.wackerart.de/fractal.html) Java-Plugin erforderlich
Applet für Newton-Fraktale (http://www.pk-applets.de/fra/newton/newton.html)

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