Mathe Genie Lexikon Fourierreihe Erklärung Bedeutung und Formel

Fourierreihe

Als Fourierreihe einer Funktion f(x) bezeichnet man deren Entwicklung in eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen.

Die Basisfunktionen der Fourierreihe bilden das bekannteste Beispiel für ein orthogonales Funktionensystem.

Inhaltsverzeichnis

1 Darstellungsformen

1.1 allgemeine Form (reelle Fourierreihe):
1.2 Amplituden-Phasen-Notation:
1.3 komplexe Fourierreihe:

2 Beispiele

2.1 Dreieckpuls
2.2 Sägezahnpuls

3 Gibbsches Phänomen

Darstellungsformen

allgemeine Form (reelle Fourierreihe):

$f(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t))$

Dabei ist

$\omega=\frac{2\pi}{T}$

a 0

der Gleichanteil (wechsellose Größe oder auch Anteil der Frequenz

f 0 = 0

)

$a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)cos(n\omega t) dt\;\;\;\mbox{und}\;\;\;b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)sin(n\omega t) dt$

Amplituden-Phasen-Notation:

$f(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (A_n \cos(n\omega t + \phi_n))$

Dabei ist

$A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$ und $\phi_n=\arctan{\frac {b_n} {a_n}}$

komplexe Fourierreihe:

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\omega t}$

Hierbei gilt

$c_0 = \frac{a_0}{2}$

$c_n = \frac{(a_n - \mathrm{i} b_n)}{2} \mbox{ für }n>0$

$c_n = \frac{(a_{-n} + \mathrm{i} b_{-n})}{2} \mbox{ für } n<0$

Beispiele

Dreieckpuls

$f(t)= \frac{8}{\pi^2}\begin{bmatrix} {\cos {\omega t} + \frac {1}{3^2}\cos{3 \omega t} + \frac {1}{5^2}\cos {5 \omega t} + \ldots}\end{bmatrix}$

Sägezahnpuls

$f(t)=- \frac{2}{\pi}\begin{bmatrix} {\sin {\omega t} + \frac {1}{2}\sin{2 \omega t} + \frac {1}{3}\sin {3 \omega t} + \ldots} \end{bmatrix}$

Gibbsches Phänomen

Das Gibbsche Phänomen beschreibt das Verhalten von Fourierreihen in der Umgebung von Sprungsstellen. Entwickelt man eine Fourierreihe aus einer unstetigen Funktion, so ergeben sich an den Unstetigkeitsstellen typische Über- und Unterschwinger, die sich auch dann nicht verringern, wenn man versucht die Funktion noch besser zu approximieren.

Die Höhe des ersten Überschwingers nähert sich

${{2 \cdot h \cdot 0,281} \over {\pi}} = 0,1789 \cdot h$

Das sind ungefähr 18 % der Sprunghöhe. Der Effekt wurde nach seinem Enddecker dem amerikanischen Physiker J.W. Gibbs benannt.

Siehe auch: Diskrete Fourier-Transformation

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