Formelsammlung Geometrie

Die Formelsammlung zur Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

Inhaltsverzeichnis

1 Geometrie in der Ebene

1.1 Abbildungen
1.2 Winkel
1.3 Teilung einer Strecke
1.4 Dreieck

1.4.1 Satzgruppe des Pythagoras

1.5 Kongruenzsätze
1.6 Ähnlichkeitssätze
1.7 Strahlensätze
1.8 Vierecke

1.8.1 Quadrat (Geometrie)
1.8.2 Rechteck
1.8.3 Raute (Rhombus)
1.8.4 Parallelogramm
1.8.5 Trapez

1.9 Geometrie am Kreis
1.10 Regelmäßige Vielecke
1.11 Kreis, Kreisteile
1.12 Ellipse

2 Geometrie im Raum

2.1 Einfache Körper
2.2 Regelmäßige Körper
2.3 Zylinder
2.4 Kegel
2.5 Kugel und Kugelteile
2.6 Ellipsoid und Drehkörper

2.6.1 Ellipsoid

3 Trigonometrie

3.1 Trigonometrische Funktionen

3.1.1 Definitionen
3.1.2 Eigenschaften von Sinus, Kosinus und Tangens
3.1.3 Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis
3.1.4 Vorzeichen für Winkel zwischen 0° und 360°
3.1.5 Sinussatz
3.1.6 Cosinussatz

3.2 Grad und Radiant
3.3 Näherungen für sin x, cos x und tan x
3.4 Arcusfunktionen

Geometrie in der Ebene

Abbildungen

Winkel

Nebenwinkel Nebenwinkel betragen zusammen immer 180°.
Scheitelwinkel Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Stufenwinkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
Wechselwinkel Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind gleich groß.
Außenwinkel Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel.
Winkelsummen Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck ist immer 180° Die Summe der Innenwinkel in einem Viereck ist immer 360° Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck ist immer (n-2)*180°

Teilung einer Strecke

Verhältnisteilung

Um eine Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis (in n gleiche Teile) zu teilen, zeichne man zunächst einen beliebigen Strahl von A aus, der nicht parallel zu AB ist, auf diesem trage man n mal dieselbe Strecke ab, verbinde deren Endpunkt C mit B und zeichne die Parallelen zu BC durch die bei der Unterteilung von AC entstandenen Punkte, deren Schnittpunkte mit AB teilen AB in n gleiche Teile.

Dreieck

Benennung der Seiten und Winkel

Der Innenwinkel beim Eckpunkt A nennt man $?$ (griechische Kleinbuchstaben)
Die Dreiecksseite (bzw. deren Länge) gegenüber der Ecke A nennt man a

Bild:Dreieck_allgemein.png

Gleichseitiges Dreieck

Alle Seiten sind gleich lang
Alle Winkel sind gleich groß (60°)
Höhenlinien = Symmetrieachsen = Winkelhalbierende = Seitenhalbierende

Bild:Dreieck_gleichseitig.png

Gleichschenkliges Dreieck

2 Seiten sind gleichlang (Schenkel a und b)
Die zwei Basiswinkel ( $?$ und $?$ )sind gleich groß
Die Höhenlinie halbiert den Winkel $?$
Die Höhenlinie halbiert die Basis c

Bild:Dreieck_gleichschenklig.png

Rechwinkliges Dreieck

$?$ + $?$ = 90°
Hypotenuse = längste Seite = Seite gegenüber 90°-Winkel
Satz des Pythagoras: (Kathete a)² + (Kathete b)² = (Hypotenuse c)²

Bild:RechtwinkligesDreieckFS.png

Schnittpunkt der Seitenhalbierenden

Die Seitenhalbierenden sind die Schwerelinien
Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S.

Bild:Dreieck_mit_Seitenhalbierende.png

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten entspricht dem Mittelpunkt des Umkreises.

Schnittpunkt der Winkelhalbierenden

Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden entspricht dem Mittelpunkt des Inkreises.
w_$?$ ist die Winkelhalbierende des Winkels $?$ .

Bild:Dreieck_mit_Winkelhalbierende.png

Höhenschnittpunkt

Die Höhen schneiden sich in einem Punkt.
Die Höhe h_c ist die Höhe vom Punkt C aus auf die Seite c.
D ist der Höhenfußpunkt von h_c.

Flächenberechnung mit Grundseite und Höhe

$A=\frac{g \cdot h}{2}$

Flächenberechnung mit einem Winkel

$A=\frac{b\cdot c\cdot \sin(\alpha)}{2}$

(b und c sind die den Winkel $?$ einschließenden Seiten)

Satzgruppe des Pythagoras

Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypothenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den Katheten:

$\mathbf{a^2 + b^2 = c^2}$

Kathetensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypothenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypothenuse:

$a^2 = p \cdot c, \ b^2 = q \cdot c$

Höhensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe auf der Hypothenuse flächengleich mit dem Rechteck aus den Hypothenusenabschnitten.

$h^2 = q \cdot p$

Kongruenzsätze

Zwei Dreiecke sind kongruent bzw. deckungsgleich, wenn sie übereinstimmen in

drei Seiten (sss)
zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sws)
zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite (Ssw)
einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln (wsw)

Ähnlichkeitssätze

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn

drei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben
zwei Paare entsprechender Seiten das gleiche Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen
zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen
zwei Winkel übereinstimmen

Strahlensätze

Vierecke

Quadrat (Geometrie)

Quadrat Umfang:

$U = 4\cdot a$

Quadrat Fläche:

A = a 2

Diagonale im Quadrat:

$d = a\cdot \sqrt{2}$

Rechteck

Rechteck Umfang:

$U = 2\cdot a + 2\cdot b$

Rechteck Fläche:

$A = a\cdot b$

Diagonale im Rechteck:

$d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Raute (Rhombus)

Raute Umfang:

$U = 4\cdot a$

Raute Fläche:

$A = \frac {1} {2} \cdot e \cdot f$

Diagonalen in der Raute:

$e^2 + f^2 = 4\cdot a^2$

Parallelogramm

Parallelogramm Umfang:

$U = 2\cdot (a + b)$

Parallelogramm Fläche:

$A = a\cdot h_a = b\cdot h_b$

Trapez

Trapez Umfang:

U = a + b + c + d

Trapez Fläche:

$A = m\cdot h$

$m = \frac {1} {2} (a + b)$

Geometrie am Kreis

Regelmäßige Vielecke

Kreis, Kreisteile

Kreisumfang

$U = 2 \cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d$

Kreisfläche

$A = \pi \cdot r^2$

bild:Kreis1.png

Länge eines Kreisbogens

$b = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot { \alpha \over 360^\circ}$

Fläche eines Kreisausschnittes (Sektor)

$A = \pi \cdot r^2 \cdot { \alpha \over 360^\circ}$

bild:Kreis2.png

Fläche eines Kreisabschnittes (Segment)

$A = {{r^2} \over {2}} \cdot \left( {{{\pi} \cdot {\alpha} } \over{180^\circ}} - \sin \alpha \right)$

bild:Kreis3.png

Ellipse

Grundformel der Ellipse

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (a, b Halbachsen der Ellipse)

Fläche

$A=2\cdot \int_{-a}^{a}\sqrt{\frac{a^2 b^2 - b^2 x^2}{a^2}}\, dx$

Geometrie im Raum

Einfache Körper

Regelmäßige Körper

Zylinder

Volumen gerader und schräger Zylinder

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Mantel gerader Zylinder

$M = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = \pi \cdot d \cdot h$

Oberfläche gerader Zylinder

$O = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h + 2 \cdot \pi \cdot r^2 = 2 \cdot\pi \cdot r \cdot (h + r)$

Kegel

Volumen von senkrechten und schrägen Kegeln

$V = {1 \over 3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$

Mantel von senkrechten Kegeln

$M = \pi \cdot r \cdot s$

Oberfläche von senkrechten Kegeln

$O = \pi \cdot r \cdot s + \pi \cdot r^2 = \pi \cdot r \cdot (s + r)$

Zusammenhang von Radius, Höhe und Seitenhöhe

s 2 = r 2 + h 2

Kugel und Kugelteile

Volumen einer Kugel

$V = {4 \over 3} \cdot \pi \cdot r^3$

Oberfläche einer Kugel

$O = 4 \cdot \pi \cdot r^2$

Umfang einer Kugel

$U = 2 \cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d$

Kugelkalotte (Kugelmütze)

$A = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h$

Kugelsegment

$O = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h + \rho^2 \pi$ mit : $\rho^2 = h \cdot (2r -h)$

$V = {h^2 \cdot \pi \over 3} \cdot (3r - h)$

Kugelzone

$A = 2 \cdot r \cdot \pi \cdot h$

Ellipsoid und Drehkörper

Ellipsoid

Volumen eines Ellipsoids mit den Halbachsen a,b,c:

$V=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot a\cdot b\cdot c\,$

Volumen eines Rotationsellipsoids mit den Halbachsen a,b:

$V = \pi \int_{-a}^{a} \frac{ a^2 b^2 - b^2 x^2 }{a^2} dx$

Trigonometrie

Trigonometrische Funktionen

Definitionen

Sinus

$\sin \alpha = {Gegenkathete \over Hypotenuse}= {a \over c}$

Cosinus

$\cos \alpha = {Ankathete \over Hypotenuse}= {b \over c}$

Tangens

$\tan \alpha = {Gegenkathete \over Ankathete} = {a \over b}$

Eigenschaften von Sinus, Kosinus und Tangens

sin 2 (?) + cos 2 (?) = 1

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)} {\cos(\alpha)}$

$\sin(\alpha) = \cos(90^\circ - \alpha)$

Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis

Vorzeichen für Winkel zwischen 0° und 360°

Sinussatz

${{\sin \alpha} \over a} = {{\sin \beta} \over b} = {{\sin \gamma} \over c}$

Cosinussatz

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos \alpha$

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \beta$

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma$

Grad und Radiant

Grad: 360° entsprechen einem Vollwinkel
Neugrad: 400g (gon) entsprechen einem Vollwinkel
Bogenmaß/Radiant: 2 $?$ entsprechen einem Vollwinkel

Umrechnung Grad in Bogenmaß

$b = {{2 \cdot \pi \cdot \alpha} \over 360^\circ }$

Näherungen für sin x, cos x und tan x

Arcusfunktionen

Dieser Artikel ( Formelsammlung Geometrie ) stammt aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
und steht unter der GNU Free Documentation Licence.