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Formelsammlung Algebra

Die Formelsammlung zur Algebra ist ein Teil der Formelsammlung, in der auch Formeln der anderen Fachbereiche zu finden sind.

Inhaltsverzeichnis
1 Grundrechenarten

1.1 Bruchrechnen

2 Klammerersparungsregeln
3 Grundbegriffe der Algebra
4 Grundgesetze
5 Gesetze der Anordnung
6 Betrag Mathematik, Signum, Gaußklammer
7 Termumformungen
8 Grundlegende Funktionen
9 Lineare Gleichungssysteme
10 Quadratische Gleichungen
11 Gleichungen n-ten Grades
12 Polynome n-ten Grades
13 Polynomdivision
14 Hornerschema
15 Mittelwerte
16 Potenzen
17 Wurzeln
18 Logarithmus
19 Komplexe Zahlen
20 Vollständige Induktion
21 Kombinatorik

21.1 Fakultät
21.2 Binomialkoeffizient (?n über k?)
21.3 Binomischer Satz / Pascalsches Dreieck

22 Stirlingsche Näherungsformel
23 Potenzsummen
24 Folgen und Reihen
25 Prozentrechnung
26 Zinsrechnung

26.1 Zinseszins und Rentenrechnung
26.2 Abschreibung

 

Grundrechenarten

 

Bruchrechnen

 

Klammerersparungsregeln

 

Grundbegriffe der Algebra

 

Grundgesetze

  • Assoziativ-Gesetz
a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c
a \cdot ( b \cdot c ) = ( a \cdot b ) \cdot c = a \cdot b \cdot c
  • Kommutativ-Gesetz (Vertauschungsgesetz)
a + b = b + a
a \cdot b = b \cdot a
  • Distributiv-Gesetz
a \cdot ( b + c ) = a \cdot b + a \cdot c
a \cdot ( b - c ) = a \cdot b - a \cdot c

 

Gesetze der Anordnung

 

Betrag Mathematik, Signum, Gaußklammer

 

Termumformungen

 

Grundlegende Funktionen

 

Lineare Gleichungssysteme

 

Quadratische Gleichungen

pq-Formel:

Bringt man die Ausgangsgleichung in die Form
x^2 + p\cdot x + q = 0
dann gilt
x_{1,2}= -{p \over 2} \pm \sqrt{{p^2 \over 4} - q}

abc-Formel: (äquivalent zur pq-Formel)

Bringt man die Ausgangsgleichung in die Form
a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0
dann gilt
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\cdot ac}}{2\cdot a}

\left.\begin{matrix} \mbox{Zerlegung in Linearfaktoren:} & x^2+px+q=(x-x_1)\cdot (x-x_2)=0 \\ \mbox{Satz von Vieta:} & p=-(x_1+x_2) \qquad q=x_1\cdot x_2 \end{matrix}\right \} x_1, x_2 \mbox{ sind Lösungen}

 

Gleichungen n-ten Grades

Cardanische Formeln Kubische Gleichung

 

Polynome n-ten Grades

 

Polynomdivision

 

Hornerschema

Mit dem Hornerschema lässt sich die Berechnung von Funktionswerten für ein Polynom vereinfachen. Beispiel:

f(x): = x2 - 2x - 8

Dazu legt man eine Tabelle an. Die Anzahl der Zeilen ist drei, die der Spalten umd zwei größer als der Grad des Polynoms (für das Beispiel also vier Spalten). Die Koeffizienten scheibt man, von der zweiten Spalte beginnend, in die erste Zeile. Den x-Wert schreibt man in die erste Spalte der zweiten Zeile. Beginnend mit der zweiten Spalte werden immer die Zahlen in den ersten beiden Zahlen addiert und das Ergebnis in die dritte Spalte. Dieses Ergebnis wird in die zweite Zeile der nächsten Spalte gechrieben. Der Funktionswert befindet sich zum Schluss in der dritten Zeile der letzten Spalte.

Beispiel für f( - 2):

      1  -2  -8
x=-2     -2   8
---------------
      1  -4   0

Sollte der Funktionswert, wie hier, Null sein, sind die restlichen Zahlen in der letzten Zeile das Ergebnis der Polynomdivision der Funktion durch minus den Wert, hier x - ( - 2): f(x) = (x - 4)(x + 2)

 

Mittelwerte

  • arithmetisches Mittel von a und b:
{a + b} \over 2
allgemeiner Ansatz:
\bar x = \frac{1}{n}\cdot \sum_{i=1}^n x_i
  • geometrisches Mittel von a und b:
\sqrt{a \cdot b}
allgemeiner Ansatz:
\bar x = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}
  • gewogenes arithmetisches Mittel
\bar x=\frac{\sum_{i=1}^n \bar x_i \cdot m_i}{\sum_{i=1}^m m_i}
  • Zentralwert
Der Wert, welcher in einer geordneten Liste genau in der Mitte steht, bzw. bei zwei Werten in der Mitte das arithmetische Mittel dieser.
z.B.: 1, 2, 3 -> Zentralwert = 2
z.B.: 1, 2, 3, 4 -> Zentralwert = (2+3)/2 = 2,5

 

Potenzen

  • Definition Potenzen
a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a (n Faktoren)
formal:
a^n=\left\{\begin{matrix} 1 & n=0 \\ \prod_{i=1}^n a & n \ge 1 \end{matrix}\right.
  • Begriffe zu Potenzen
an (das Ergebnis der Rechnung) ist die Potenz
a ist die Basis
n ist der Exponent
  • Potenzen mit gleicher Basis
a^x \cdot a^y = a^{x+y}
{a^b \over a^c} = a^{b-c}
  • Potenzieren einer Potenz
{a^b}^c = a^{b \cdot c}
  • Potenzen mit gleichem Exponenten
x^a \cdot y^a = (x \cdot y)^a
{x^a \over y^a} = \left( {x \over y} \right)^a

 

Wurzeln

  • Definition Wurzel
x^n = a \Leftrightarrow x = \sqrt[n]{a}
  • Begriffe zu Wurzeln
x = \sqrt[n]{a}
n ist der Wurzelexponent
a ist der Radikant
  • Wurzeln als Potenzen umgeschrieben
\sqrt[n]{x} = a^{1 \over n}
  • Wurzel und Potenz (gilt nur bei ungeradem m und bei geradem m für postive x)
\sqrt[m]{x ^n} = {\sqrt[m]{x }}\ ^n = x^{n \over m}
  • Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten
\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}
{{ \sqrt[n]{a}} \over {\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{a \over b}
  • Wurzeln aus Wurzel
\sqrt[n]{{\sqrt[m]{b}}} = \sqrt[n \cdot m]{a}

 

Logarithmus

  • Definition des Logarithmus zur Basis b
x = \log_b a \Leftrightarrow a = b^x
  • Logarithmus-Gesetze
\log ( a \cdot b) = \log a + \log b
\log \left( {a \over b} \right) = \log a - \log b
\log \left( a^b \right) = b \cdot \log a

 

Komplexe Zahlen

 

Vollständige Induktion

 

Kombinatorik

 

Fakultät

n! = 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot n = \prod_{i=1}^{n} i
0! = 1

 

Binomialkoeffizient (?n über k?)

{n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}

 

Binomischer Satz / Pascalsches Dreieck

(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
...
k = 0...n
(a+b)^n = {n \choose k}a^{n-k}b^k+{n \choose k}a^{n-k}b^k+{n \choose k}a^{n-k}b^k+...+{n \choose n-1}ab^{n-1}+{n \choose n}b^n
= \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k} b^n

 

Stirlingsche Näherungsformel

n! \approx \left(\frac{n}{e}\right)^n \cdot \sqrt{2 \pi n}

 

Potenzsummen

 

Folgen und Reihen

 

Prozentrechnung

G = Grundwert, p = Prozentsatz, W = Prozent-Wert

W = G \cdot {p \over 100} \quad\mbox{oder}\quad p = {W \over G} \cdot 100 \quad\mbox{oder}\quad G = {W \cdot 100 \over p}

 

Zinsrechnung

 

Zinseszins und Rentenrechnung

 

Abschreibung
Dieser Artikel ( Formelsammlung Algebra ) stammt aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
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