Ein formales System ist ein System von Symbolketten und Regeln. Die Regeln sind Vorschriften für die Umwandlung einer Symbolkette in eine andere. Die Anwendung der Regeln kann dabei ohne Kenntnis der Bedeutung der Symbole erfolgen. Formale Systeme werden in verschiedenen wissenschaftlichen Disziplinen wie der Logik, Mathematik, Informatik und Linguistik verwendet.

Die Grundrechenarten der Arithmetik bilden das erste formale System, das in der Grundschule gelernt wird. Dort nimmt man Symbole für die Ziffern 1,2,3,4,5,6,7,8,9 und ein Symbol für die Null, nämlich 0. Die Addition erhält auch ein Symbol, '+'. Man kann jetzt die Symbole aneinanderreihen und erhält Symbolketten, wie zum Beispiel:

123+45
7+0
123456+666

Additionsregel: Nimm die beiden am weitesten rechts stehenden Ziffern jeder Ziffernfolge und ersetze sie durch folgende Vorschrift: 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, ... , 5+5=0+Übertrag, ... 9+9=8+Übertrag. Schreibe die sich ergebende Ziffern an die rechte Stelle der neuen Ziffernkette und merke dir den Übertrag. Nimm jetzt die zweitrechteste Ziffer jeder Kette und ersetze sie durch dieselbe Vorschrift. Falls ein Übertrag im vorhergehenden Schritt vorhanden war, wende die Ersetzung auf die neue Ziffer und 1 an. Ersetze die nächstlinke Stelle im Ergebnis durch das neue Symbol und merke dir wiederum den Übertrag. Setze das Verfahren fort, bis keine Ziffern mehr vorhanden sind. Falls eine Kette kürzer als die andere ist, ersetze fehlende Ziffern durch '0'. Falls am Ende ein Übertrag vorhanden ist, schreibe im Ergebnis ganz links eine '1'.

Die Kette

987+789

wird durch Anwendung dieser Additionsregel also durch die Kette

 1776

ersetzt.

Die Regel addiert Zahlen in jedem beliebigen System (hier im Dezimalsystem). Es ist jedoch nirgends von einer Zahl die Rede. Tatsächlich operiert man nur mit Ziffern. Hat ein Schüler das Verfahren oft angewendet und geübt, so wird er sich keine Gedanken mehr darüber machen, wie es funktioniert und ob das Ergebnis eine korrekte Dezimalzahl ist. Dies liegt aber nur an der korrekten Ausführung der Schritte in der Additionsregel.

Auch ein Rechner kann die Regel ohne weiteres anwenden, ohne eine Vorstellung von Zahlen oder eine Ahnung der Bedeutung der Ziffern 0 bis 9 zu haben. Die Regel kann rein mechanisch, also formal angewendet werden

Verschlüsselungssysteme

Ein formales System kann z.B. alle Kleinbuchstaben und das Leerzeichen als Symbole haben. Symbolketten können beliebige Folgen von ? sinnvollen und sinnlosen ? Wörtern sein (es geht nur um die Symbole, also Buchstaben). Eine mögliche Symbolkette ist hier:

er kam sah siegte

Als einzige Regel ersetzt man jeden Buchstaben durch seinen Nachfolger im Alphabet, also a durch b, b durch c und so fort. z wird durch a ersetzt. Aus der obenstehenden Symbolkette wird durch Anwendung der Regel:

fs lbn tbi tjfhuf

Dieses System wurde zur Verschlüsselung von Nachrichten eingesetzt, wie es schon in ähnlicher Form von Julius Cäsar verwendet wurde. Zur Entschlüsselung benutzt man ein gleichwertiges formales System, das jeden Buchstaben durch seinen Vorgänger ersetzt:

er kam sah siegte

Man kann die Regel auch mehrfach anwenden. Bei zweifacher Anwendung erhält man

gt mco ucj ukgivg

Die Verschlüsselungssystem weisen die Merkmale formaler Systeme auf:

• Eine Anzahl von Symbolen wird zu einer Symbolkette zusammengefasst.
• Die Bedeutung einer Symbolkette ist für die Anwendung der Umformungsregeln unwichtig.
• Die Regeln können formal (also rein mechanisch z.B. durch einen Rechner) angewendet werden.

Literatur

• Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach, ein endlos geflochtenes Band. DTV 1991 ISBN 3423300175

Siehe auch: Formales System (Logik), Formales System (Mathematik), Formales System (Informatik)