Mathe Genie Lexikon Folge (Mathematik) Erklärung Bedeutung und Formel

Folge (Mathematik)

In der Mathematik ist eine Folge eine Abbildung f der natürlichen Zahlen in eine Menge A, im engeren Sinne meist auf die reellen Zahlen.

$f: \mathbb{N} \rightarrow A$ bzw. $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$

Das i-te Folgenglied $a i$ wird folgendermaßen definiert:

$a_i := f(i),\quad i\in\mathbb{N}.$

Die Folge (a_i) muss man von der Bildmenge f(N) = {a_i | i aus N} unterscheiden.

Einfacher formuliert: Eine Folge in der Mathematik oder Zahlenfolge ist eine Aufzählung verschiedener Zahlen, z.B. 5, 13, 34, 23, 67, ...

Folgen ergeben sich im Alltag z.B. bei fortgesetzten Aufzeichnungen von Temperaturbeobachtungen und Bevölkerungsstatistiken.

Dabei unterscheidet man endliche Folgen, die eine feste Zahl von Einzelgliedern besitzen, und unendliche Folgen, die keine bestimmte Zahl von Gliedern aufweisen. Letztere sind von wesentlicher Bedeutung für die Analysis, in der man sich intensiv mit der Berechnung ihrer Grenzwerte auseinandersetzt.

Weiterhin unterscheidet man regelmäßige Folgen, die nach einer bestimmten Regel gebildet werden, sowie unregelmäßige Folgen, bei denen die einzelnen Glieder ohne Gesetzmäßigkeit aufeinander folgen. Bei regelmäßigen Folgen lässt sich jeweils ein Bildungsgesetz. Zum Beweis der Konvergenz ist hier die Methode der Vollständigen Induktion ein nützliches Hilfsmittel. Wichtige regelmäßige Folgen sind die Arithmetische Folge und die Geometrische Folge.

Addiert man die Glieder einer Folge, so erhält man eine Reihe, was bei der Herleitung der Integralrechnung von großer Bedeutung ist.

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele

1.1 Folgen in den rationalen Zahlen
1.2 Folgen in den ganzen Zahlen
1.3 Folgen in Mengen ("Mengenfolgen")
1.4 Goodstein Folgen

2 Weblinks

Beispiele

Folgen in den rationalen Zahlen

Die Inversen:
$a_i = {1 \over i} \Rightarrow a_1=1,\ a_2=\frac{1}{2}=0.5,\ a_3=\frac{1}{3}=0.\bar{3},\ \dots$

Eine gegen 1 konvergierende Folge:
$a_i = 1 - \frac{1}{2^i} \Rightarrow a_1=\frac{1}{2}=0.5,\ a_2=\frac{3}{4}=0.75,\ a_3=\frac{7}{8}=0.875,\ a_4=\frac{15}{16}=0.9379,\ \dots$

Eine rekursiv definierte Folge rationaler Zahlen, die gegen ?2 konvergiert:
$a_i = 2, a_{i+1} = \frac{1}{a_i} + \frac{a_i}{2} \Rightarrow a_1 = 2,\ a_2 = \frac{3}{2} = 1.5,\ a_3 = \frac{17}{12} = 1.41\bar{6},\ \ldots$

Folgen in den ganzen Zahlen

Die natürlichen Zahlen:
$a_i = i \Rightarrow a_1=1,\ a_2=2,\ a_3=3,\ \dots$

Die Dreieckszahlen:
$a_i = \frac{i(i+1)}{2} \Rightarrow a_1=1,\ a_2=3,\ a_3=6,\ a_4=10,\ a_5=15,\ a_6=21,\ a_7=28,\ \dots$

Die Quadrate der natürlichen Zahlen:
$a_i = i^2 \Rightarrow a_1=1,\ a_2 = 4,\ a_3=9,\ a_4=16,\ a_5=25,\ a_6=36,\ a_7=49,\ a_8=64,\ \dots$

Die Folge der ganzzahligen Zweierpotenzen:
$a_i = 2^i \Rightarrow a_0=1,\ a_1=2,\ a_2=4,\ a_3=8,\ a_4=16,\ a_5=32,\ a_6=64,\ a_7=128,\ \dots$

Die Primzahlen:
$a_1 = 2,\ a_2 = 3,\ a_3 = 5,\ a_4 = 7,\ a_5 = 11,\ a_6 = 13,\ a_7 = 17,\ a_8 = 19,\ a_9 = 23,\ a_{10} = 29,\ \dots$

Die Fibbonacci - Folge:
$a i = a i - 2 + a i - 1$ mit $a 0 = 0$ und $a_1 = 1 \Rightarrow a_0 = 0,\ a_1 = 1,\ a_2 = 1,\ a_3 = 2,\ a_4 = 3,\ a_5 = 5,\ \dots$

Die quadratischen Reste (zu einer natürlichen Zahl b mit b>1):
$a_{i+1} = (a_i + (2i+1)) \mod b$ mit $a 0 = 0$ $\Rightarrow a_0= 0,\ a_1 = 1,\ a_2 = 4 \mod b ,\ \dots$

Die ungeraden natürlichen Zahlen:
$a_i = 2\cdot i-1 \Rightarrow a_1 = 1,\ a_2 = 3,\ a_3 = 5,\ \dots$

Eine alternierende Folge:
$a_i = (-1)^{i} \Rightarrow a_1 = -1,\ a_2 = 1,\ a_3 = -1,\ a_4 = 1,\ \ldots$

Folgen in Mengen ("Mengenfolgen")

$a_i = \{1,\dots,i\} \Rightarrow a_1=\{1\},\ a_2=\{1,2\},\ a_3=\{1,2,3\},\ \dots$

Goodstein Folgen

siehe Goodstein Folgen.

Weblinks

Die Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen (http://www.research.att.com/~njas/sequences/indexgerman.html) (OEIS) enthält eine Sammlung gebräuchlicher Folgen aus ganzen Zahlen mit einer Suchfunktion.

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