Die Finite-Elemente-Methode ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung von partiellen Differentialgleichungen mit Randbedingungen.

Vorgehen

Das untersuchte Lösungsgebiet wird zunächst in Teilgebiete, die finiten Elemente eingeteilt.

G =	?	Ge
	e

Innerhalb des Finiten Elements werden für die gesuchte Lösung je n Ansatzfunktionen definiert, die nur auf endlich vielen der Teilgebiete ungleich Null sind. Durch eine Linearkombination der n Ansatzfunktionen innerhalb des Elementes werden die möglichen Lösungen der numerischen Näherung festgelegt.

Die Differentialgleichungen und die Randbedingungen werden mit Gewichtungsfunktionen multipliziert und über das Lösungsgebiet integriert. Das Integral wird durch eine Summe über einzelne Integrale der Finiten Elemente ersetzt. Da die Ansatzfunktionen nur auf wenigen der Elemente ungleich Null sind, ergibt sich ein dünnbesetztes, häufig sehr großes, lineares Gleichungssystem, bei dem die Faktoren der Linearkombination unbekannt sind.

Dieses Gleichungssystem könnte man zwar prinzipiell direkt (z.B. mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren) lösen. Da der Berechnungsaufwand dort aber bei N Gleichungen O(N³) beträgt und beim Lösen die dünnbesetzte Struktur, die sich effizient speichern lässt, verloren geht, verwendet man im Allgemeinen iterative Löser, die schrittweise eine Lösung verbessern. Einfache Beispiele dafür sind das Jacobi- und Gauss-Seidel-Verfahren, praktisch werden aber eher Mehrgitterverfahren oder vorkonditionierte Krylov-Unterraumverfahren wie das Verfahren der konjugierten Gradienten, verwendet. Aufgrund der Größe der Gleichungssysteme ist manchmal der Einsatz von Parallelrechnern nötig.

Ursprünglich wurde die Finite-Elemente-Methode zur Lösung von Festkörper-Problemen in den 50er Jahren entwickelt, obwohl die Bezeichnung "Finite Elemente" erst etwas später benutzt wurde. Vorläufer reichen aber noch viel weiter zurück. Im weiteren Verlauf der Forschung wurde die Finite-Elemente-Methode immer weiter verallgemeinert und kann nunmehr in vielen physikalischen Problemstellungen eingesetzt werden.

- Verformungs- und Spannungsberechnungen in der Statik und Dynamik

- Sickerströmungsberechnungen, Hydraulik

- Wärmeleitung, Temperaturverteilungen

- Elektrizität, Magnetostatik, usw.

Ausgegangen ist die Methode aber von der Elastizitätstheorie, weswegen sie im Folgenden an diesem Beispiel näher beschrieben wird. In der Elastizitätstheorie gibt es drei Grundbedingungen:

• Gleichgewicht: Die angreifenden müssen mit den inneren Kräften im Gleichgewicht stehen.
• Kinematische Verträglichkeit: Ein Verschiebungszustand ist dann kinematisch verträglich, wenn alle Einzelelemente nach der Verformung lückenlos zusammenpassen und zusätzlich die kinematischen Randbedingungen erfüllt werden.
• Materialgesetz: In der klassischen Elastizitätstheorie gilt das Hookesche Gesetz, nach dem Spannungen und Dehnungen linear voneinander abhängen.

Die drei Grundbedingungen lassen sich mathematisch in einem System von Differentialgleichungen formulieren, das oft für praktisch interessierende Fälle nicht exakt oder "geschlossen" lösbar ist. Bei der FEM werden das Materialgesetz und eine weitere der drei Bedingungen exakt erfüllt, die dritte jedoch nur angenähert. Dementsprechend gibt es zwei Typen von FEM, von denen die zweite die wichtigere ist:

1. Gleichgewichts- oder Kraftmethode: Die inneren Kräfte/Spannungen werden als unabhängige Veränderliche eingeführt, so dass die Gleichgewichtsbedingungen exakt erfüllt werden. Die kinematische Verträglichkeit wird mittels des Prinzips der virtuellen Kräfte angenähert befriedigt.
2. Verschiebungsmethode: Es wird ein Ansatz für einen verträglichen Verlauf der Verschiebungen gemacht, so dass die Verschiebungen unabhängige Variablen sind. Mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verschiebungen werden die inneren Kräfte näherungsweise ermittelt. Die Gleichgewichtsbedingungen sind dann i. a. nicht überall, sondern nur im Mittel über das ganze Element erfüllt.

Die gegebene Aufgabe wird diskretisiert, indem ganz allgemein das Grundgebiet in einfache Teilgebiete, die so genannten Elemente, zerlegt wird. Bei gewissen Aufgabenstellungen ist die Aufteilung in Elemente durch das Problem bereits weitgehend vorgegeben. Das ist beispielsweise bei einem räumliches Fachwerk der Fall, bei welchem die einzelnen Stäbe die Elemente der Konstruktion bilden. Dasselbe gilt etwa auch bei Rahmenkonstruktionen, wo die einzelnen Balken oder unterteilte Balkenstücke die Elemente der Aufgabe darstellen.

Im Fall von zweidimensionalen Problemen wird das Grundgebiet in Dreiecke, Parallelogramme, krummlinige Dreiecke oder Vierecke eingeteilt. Selbst wenn nur geradlinige Elemente verwendet werden, erreicht man mit einer entsprechend feinen Diskretisierung eine recht gute Approximation (Annäherung) des Grundgebietes. Krummlinige Elemente erhöhen selbstverständlich die Güte der Annäherung. Jedenfalls erlaubt diese Diskretisierung eine äußerst flexible und auch dem Problem angepasste Erfassung des Grundgebietes. Allerdings muss darauf geachtet werden, dass Paare von sehr spitzen Winkeln in den Elementen vermieden werden, um numerische Schwierigkeiten auszuschließen. Dann wird das gegebene Gebiet durch die Fläche der approximierenden Elemente ersetzt.

Bei räumlichen Problemen erfolgt eine Diskretisierung des dreidimensionalen Gebietes in Tetraederelemente, Quaderelemente oder andere dem Problem angepasste, möglicherweise auch krummflächig berandete Elemente.

In jedem der Elemente wird für die gesuchte Funktion, bzw. allgemeiner für die das Problem beschreibenden Funktionen, ein problemgerechter Ansatz gewählt. Im besonderen eignen sich dazu ganze rationale Funktionen in den unabhängigen Raumkoordinaten. Für eindimensionale Elemente (Stäbe, Balken) kommen Polynome ersten, zweiten, dritten und gelegentlich sogar höheren Grades in Frage. Bei zweidimensionalen Problemen finden lineare, quadratische oder höhergradige Polynome Verwendung. Die Art des Ansatzes hängt dabei einerseits von der Form des Elementes ab und andererseits kann auch das zu behandelnde Problem den zu wählenden Ansatz beeinflussen. Denn die Ansatzfunktionen müssen beim Übergang von einem Element ins benachbarte ganz bestimmte problemabhängige Stetigkeitsbedingungen erfüllen. Die Stetigkeitsanforderungen sind häufig aus physikalischen Gründen offensichtlich und aus mathematischen Gründen auch erforderlich. Z.B. muss die Verschiebung eines zusammenhängenden Körpers in einer Richtung beim Übergang von einem Element zum anderen stetig sein, um die Kontinuität des Materials zu gewährleisten. Im Fall der Balken- oder Plattenbiegung sind die Stetigkeitsanforderungen höher, da dort aus analogen physikalischen Gründen sogar die Stetigkeit der ersten Ableitung bzw. der beiden ersten partiellen Ableitungen gefordert werden muss. Elemente mit Ansatzfunktionen, welche den Stetigkeitsbedingungen genügen, heißen konform.

Um nun die Stetigkeitsanforderungen tatsächlich zu erfüllen, muss der Funktionsverlauf im Element durch Funktionswerte und auch durch Werte von (partiellen) Ableitungen (den Knotenpunktverschiebungen) in bestimmten Punkten des Elementes, den Knotenpunkten, ausgedrückt werden. Die in den Knotenpunkten benutzten Funktionswerte und Werte von Ableitungen nennt man die Knotenvariablen des Elements. Mit Hilfe dieser Knotenvariablen stellt sich die Ansatzfunktion als Linearkombination von sogenannten Formfunktionen mit den Knotenvariablen als Koeffizienten dar.

Es ist zweckmäßig, für die Knotenpunktkoordinaten neben einem elementbezogenen lokalen ein globales Koordinatensystem zu verwenden. Beide werden durch Transformationsfunktionen miteinander verknüpft. Werden für diese Transformation dieselben Formfunktionen wie für den Verformungsansatz benutzt, so sind es "isoparametrische Elemente", bei Funktionen niedrigeren bzw. höheren Grades sub- bzw. superparametrische Elemente.

Die Knotenpunktverschiebungen werden nun aus der Bedingung ermittelt, dass im gesuchten Gleichgewichtszustand die potentielle Energie ein Minimum hat. Das Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie bildet eine der möglichen Variationsmethoden zur direkten Bestimmung von Steifigkeitsgleichungen finiter Elemente. Die potentielle Energie einer Konstruktion ist die Summe aus der inneren Verzerrungsenergie (der elastischen Formänderungsenergie) und dem Potential der aufgebrachten Lasten (der von äußeren Kräften geleisteten Arbeit).

Dabei wird letztlich ein sehr großes Gleichungssystem aufgestellt, das aus einer Gesamtsteifigkeitsmatrix, einem Verschiebungsvektor und einem Kraftvektor besteht. Es muss anschließend gelöst werden, und man erhält die gesuchten Verformungen und die Spannungen.

Der Umfang dieses Gleichungssystems wächst sehr schnell mit der Zahl der Knoten bzw. Elemente des Gesamtsystems. Deshalb war die Anwendung der FEM auf komplexe Probleme mit einer Vielzahl von Unbekannten früher nur unter Verwendung leistungsfähiger Großrechner möglich. Heute können hierfür auch Personal Computer benutzt werden. FEM ist allerdings das beste Beispiel für eine Anwendung die enorm von parallelen Prozessoren profitieren würden.

Es gibt heute eine Vielzahl von kommerziellen Computerprogrammen, die nach der Methode der Finiten Elemente arbeiten. Einige dieser haben wir auf der Liste von FEM Programmen gesammelt.