Eine Fermat-Zahl, benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat, ist eine natürliche Zahl der Form

(= 2^(2^n)+1), wobei n eine nichtnegative ganze Zahl ist.

Eine Fermatsche Primzahl ist eine Fermat-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist.

Fermat kannte die ersten fünf Fermatzahlen

F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257, F₄ = 65537,

und er vermutete 1637, dass alle Fermat-Zahlen Primzahlen sind. Diese Vermutung wurde von Leonhard Euler 1732 widerlegt, indem er den echten Teiler 641 von F₅ = 4294967297 berechnete. Man vermutet inzwischen, dass alle Fermat-Zahlen, außer den ersten fünf, keine Primzahlen sind. Diese umgekehrte Vermutung basiert auf einem heuristischen Argument von H. W. Lenstra, welcher die "Wahrscheinlichkeit" dafür, dass F_n prim ist zu n/2ⁿ berechnet. Da aber die Summe dieser Ausdrücke konvergiert, kann es nur endlich viele Fermat-Zahlen geben.

Wenn 2ⁿ + 1 eine Primzahl ist, dann ist notwendig n eine Zweierpotenz: Ist n = ab mit 1 < a,b < n und ungeradem b, dann ist

2ⁿ + 1 ? (2^a)^b + 1 ? (?1)^b + 1 ? 0 (mod 2^a + 1).

Wenn also n einen ungeraden Teiler hat, dann ist 2ⁿ + 1 zusammengesetzt. Mit anderen Worten, für jede Primzahl der Form 2ⁿ + 1 ist n eine Zweierpotenz und 2ⁿ + 1 ist eine Fermatsche Primzahl.

Faktorisierungsstatus von Fermat-Zahlen

Die Zahlen F₀ bis F₄ sind Primzahlen.

Die vollständig faktorisierten Fermat-Zahlen entnimmt man folgender Tabelle:

Von F₅ - F₇:

Ab F₈

Von den Zahlen F₁₂ bis F₃₂, sowie von etlichen größeren Fermat-Zahlen ist bekannt, dass sie zusammengesetzt sind. Von einigen sind auch schon ein paar Faktoren bekannt. Insgesamt weiß man von 217 Fermat-Zahlen, dass sie zusammengesetzt sind.

Um von einer Fermat-Zahl nachzuweisen, dass sie zusammengesetzt ist, benutzt man in der Regel den Pepin-Test und den Suyama-Test, die beide besonders auf diese Zahl zugeschnitten und sehr schnell sind.

Eigenschaften

• Für einen Teiler p einer Fermat-Zahl F_n gilt p ? 1 (mod 2ⁿ⁺¹)

• Fermat-Zahlen lassen sich rekursiv berechnen aus

F_n = F₀F₁...F_n-1 + 2

• Zwei Fermat-Zahlen sind zueinander teilerfremd.

Aus den letzten beiden Aussagen folgt übrigens, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (siehe auch Goldbachs Beweis).

Geometrische Anwendung der Fermatschen Primzahlen

Carl Friedrich Gauß zeigte (Erstveröffentlichung von Wantzel im Jahre 1836), dass es einen Zusammenhang zwischen der Konstruktion von regelmäßigen Vielecken und den Fermatschen Primzahlen gibt: Ein regelmäßiges Vieleck mit n Seiten kann nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn n eine Potenz von 2 oder das Produkt einer Potenz von 2 und verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen

Statt der Basis 2 kann man auch eine andere Basis wählen. Eine Zahl der Form , mit einer natürlichen Zahl b heißt Verallgemeinerte Fermatsche Zahl. Ist eine solche Zahl auch noch prim, dann heißt sie Verallgemeinerte Fermatsche Primzahl.

Beispiel: b=4, n=1 ergibt die Primzahl 17.

Internationale Suche

Es existiert ein internationales Projekt Generalized Fermat Prime Search, welches große Fermatsche und große verallgemeinerte Fermatsche Primzahlen sucht. Jeder kann sich daran beteiligen.

Weblinks

• http://www.fermatsearch.org Distributed Search for Fermat Number Divisors (englisch)
• http://mathworld.wolfram.com/FermatNumber.html (englisch)
• http://www.prothsearch.net/fermat.html Aktueller Faktorisierungsstatus aller Fermatzahlen (englisch)
• http://perso.wanadoo.fr/yves.gallot/primes/index.html GFPS Internationale Suche nach Verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen (englisch)