Mathe Genie Lexikon Extremwert Erklärung Bedeutung und Formel

Extremwert

In der Mathematik ist ein Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) einer Funktion ein Wert, in dessen Umgebung kein größerer Wert (= Maximum), bzw. kein kleinerer Wert (= Minimum) liegt. Wenn die betrachtete Umgebung beschränkt ist, spricht man von einem lokalen Extremum; kann sie jedoch auf den ganzen Definitionsbereich der Funktion ausgedehnt werden, ist das Extremum global. Bei differenzierbaren reellen Funktionen ( $f\colon\R\to\R$ ) kann man Extremwerte über die 1. Ableitung bestimmen:

Ein Extremwert der Funktion $f$ an der Stelle $a$ liegt vor gdw. die erste Ableitung der funktion, $f'(x)$ , and der Stelle $a$ einen Vorzeichenwechsel hat.

Bedingung für einen Extremwert:

1. Notwendig: Ableitung ist Null: $f'(x) = 0$

2. Hinreichend: es gilt (1.) und die zweite Ableitung ist nicht Null: $f''(x) \ne 0$ .

Es kann aber durchaus ein Extremwert vorliegen, obwohl die zweite Ableitung Null ist (z.B. für $f (x) = x 4$ an der Stelle 0). In diesem Fall muss geprüft werden, ob in einer Umgebung ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung vorliegt.

Zusätzlich kann man bestimmen, ob ein Maximum oder ein Minimum vorliegt:

$f''(x) < 0$ bedeutet Maximum
$f''(x) > 0$ bedeutet Minimum

Falls allerdings $f''(x) = 0$ ist, so kann nur durch Betrachtung der Umgebung erkannt werden, ob ein Minimum, ein Maximum oder gar kein Extremwert vorliegt.

Im Falle der Existenz höherer Ableitungen kann man durch die Taylor-Polynome der Funktion auch bei $f'(x) = f''(x) = 0$ ohne die Methode der Vorzeichenwechsel arbeiten: Sind die ersten $n - 1$ Ableitungen an der betrachteten Stelle Null, die n-te Ableitung ungleich Null und n gerade, so handelt es sich bei positiver n-ter Ableitung (an der Stelle x) um ein Minimum, bei negativer n-ter Ableitung um ein Maximum. Das oben stehende Kriterium ist also der Spezialfall für $n = 2$ von diesem Kriterium.

In der Praxis können Extremwert-Berechnungen zur Berechnung von größt- oder kleinstmöglichen Vorgaben verwendet werden (Optimierungsproblem), z. B.:

Wie muss eine rechteckige Fläche aussehen, die bei einem bestimmten Umfang eine maximale Fläche hat?

Lösungsweg:

Umfang U Konstant

Fläche A soll maximiert werden

Länge a

Breite b

$1)\qquad U=2(a+b) \Rightarrow b=\frac{U}{2}-a$

$2)\qquad A=ab$

1) in 2) einsetzen und umformen

$A=-a^2+\frac{1}{2}Ua$

Ableitungsfunktionen bilden

$A^'=-2a+\frac{1}{2}U$

$A^{''}=-2\qquad \Rightarrow$

Es gibt nur ein globales Maxima da die zweite Ableitung unabhängig von der Variablen immer kleiner als Null ist.

Um einen Extremwert zu finden muß die erste Ableitung gleich Null gesetzt werden, da diese die Steigung der ursprünglichen Funktion beschreibt und diese Steigung bei Extremwerten Null ist.

$A^'=-2a+\frac{1}{2}U=0\Rightarrow$

$a=\frac{1}{4}U\Rightarrow U=4a$

Einsetzen in 1)

$4a=2(a+b)\Rightarrow$

$a = b$

Um bei einem Rechteck bei gegebenem Umfang den größten Flächeninhalt zu erzielen müssen die Seitenlängen gleich sein. Es muß sich also um ein Quadrat handeln.

Siehe auch: Optimierung, Optimum

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