Mathe Genie Lexikon Exponentialverteilung Erklärung Bedeutung und Formel

Exponentialverteilung

Dichte der Exponenzialverteilung mit verschiedenen Werten für ?

Die Exponentialverteilung (auch Exponenzialverteilung) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der positiven reellen Zahlen. Sie ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)= \lambda{\rm e}^{-\lambda x}\quad$

für x?0; für andere x wird sie durch f(x)=0 unstetig fortgesetzt.

Die Exponentialverteilung hat einen reellen Parameter ?; um ihre Normierbarkeit zu garantieren, wird ?>0 gefordert.

Eigenschaften

kumulierte Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit verschiedenen Werten für ?

Der Erwartungswert der Exponentialverteilung ist $\frac{1}{\lambda}$ . Die Varianz der Exponentialverteilung ist $\frac{1}{\lambda^2}$ . Die kumulierte Verteilungsfunktion ist

$F(x)=\int_{-\infty}^x {\rm d}x'\,f(x') = 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}.$ .

Anwendungen

Zwischenankunftszeiten eines Poisson-Prozesses mit Stärke $?$ .

Anwendungsbeispiel

Die Exponentialverteilung ist eine typische Lebensdauerverteilung. So ist beispielsweise die Lebensdauer von elektronischen Geräten häufig annähernd exponentialverteilt.

Beispiel: In einer Elektronikfirma werden Funkwecker produziert. Im Rahmen der Qualitätssicherung wird anhand von Reklamationen die Funktionsdauer der Wecker untersucht. Es ist definiert X: Zeitdauer der Funktionsfähigkeit eines Funkweckers [Tage].

X ist exponentialverteilt mit dem Parameter ?=0,005. In diesem Zusammenhang wird ? als Ausfallrate bezeichnet; es fallen also durchschnittlich pro Tag 5 Promille der Wecker aus. Entsprechend ist 1/? die durchschnittliche Zeitdauer, bis ein Wecker ausfällt. Es fällt also im Mittel alle 200 Tage ein Wecker aus.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wecker höchstens 20 Tage hält, ist

$1-\mathrm{e}^{-0,005 \cdot 20} = 0,0952$

d.h. nach 20 Tagen sind ca. 10 % der Wecker ausgefallen.

Entsprechend ist der Anteil der Wecker, die mindestens 180 Tage aushalten,

$1-(1-\mathrm{e}^{-0,005 \cdot 180}) = 1-0,5934 = 0,4066$

also halten ca. 40 % der Wecker länger als 180 Tage.

Man sieht, dass sehr viele Wecker schon nach kurzer Zeit defekt sind, ein Phänomen, das man bei elektronischen Geräten häufig beobachtet. Wenn sie kaputt gehen, dann meistens sofort; ab dann halten sie quasi ewig.

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