Mathe Genie Lexikon Erwartungswert Erklärung Bedeutung und Formel

Erwartungswert

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist der Erwartungswert einer Zufallsvariable jener Wert, von dem man sich "erwartet", dass er sich bei einer oftmaligen Wiederholung des Experiments durchschnittlich ergibt. Er errechnet sich als die Summe der Wahrscheinlichkeit jedes möglichen Ergebnisses des Experiments multipliziert mit dem "Wert" dieses Ergebnisses. Der Erwartungswert kann allerdings bei einem einzelnen Experiment unwahrscheinlich oder sogar unmöglich sein.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition

2 Beispiel

3 Rechenregeln

3.1 Erwartungswert der Summen von n Zufallsvariablen
3.2 Lineare Transformation kX + d
3.3 Erwartungswert des Produkts von 2 stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen X und Y

4 Siehe auch

Definition

Wenn die Zufallvariable X diskret ist und die Werte x₁, x₂, ... mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten p₁, p₂, ... annehmen kann, errechnet sich der Erwartungswert E(X) als:

E(X) =	?	x_ip_i
	i

Er ist das erste Moment um Null.

Bei einer kontinuierlichen Zufallsvariable ist der Erwartungswert über das Integral bestimmt. Hat die Zufallsvariable X eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x), so ist der Erwartungswert

$E(X)=\int_{-\infty}^\infty x f(x)dx.$

Die Erwartungswerte $E [X k]$ der Potenzen einer Zufallsvariable nennt man Moment der Ordnung $k$ .

Allgemein wird der Erwartungswert wie folgt definiert: Ist X eine P-integrierbare Zufallsvariable von einem Wahrscheinlichkeitsraum (?, ?, P) nach $(\overline\mathbb R,B)$ , wobei B die Borelsche ?-Algebra über $\overline\mathbb R$ ist, so definieren wir

E(X) =	?	XdP.
	?

Ist die Zufallsvariable X diskret oder besitzt sie eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion, stimmt der Erwartunsgwert mit obigen Darstellungen überein.

Beispiel

Das Experiment sei das Würfeln mit einem Würfel. Die Zufallsvariable X ist die gewürfelte Augenzahl. Die Wahrscheinlichkeiten p_i, eine der Zahlen 1, ..., 6 zu würfeln, sind jeweils 1/6.

$E(X)=\sum_{i=1}^6 i\cdot 1/6 = 3,5$

Wenn man also 1000 Mal würfelt, die geworfenen Augenzahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von 3,5. Bei einem einzigen Wurf wird man aber nie 3,5 erhalten.

Rechenregeln

Erwartungswert der Summen von n Zufallsvariablen

$E(\sum_{i=1}^nX_i)=\sum_{i=1}^nE(X_i)$

Lineare Transformation kX + d

E (k X + d) = k E (X) + d

Insbesondere:

E (c X) = c E (X)

Erwartungswert des Produkts von 2 stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen X und Y

$E(X\,Y)=E(X)E(Y)$

Siehe auch

Gesetz der großen Zahlen
Parameter (Statistik)
Moment (Statistik)

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