Der Begriff Epimorphismus wird in der Mathematik in den Teilgebieten abstrakte Algebra und Kategorientheorie unterschiedlich definiert. In beiden Fällen ist es jedoch ein Morphismus mit einer bestimmten Zusatzeigenschaft.

Epimorphismus in der Kategorientheorie

In der Kategorientheorie ist ein Epimorphismus ein Morphismus f: X -> Y mit folgender Eigenschaft:

Sind g, h: Y -> Z beliebige Morphismen mit g o f = h o f, dann ist stets g = h. (Man sagt auch: f ist "rechts kürzbar".)

Ein Epimorphismus f heißt extremal, wenn er Epimorphismus ist und zusätzlich folgende Extremaleigenschaft erfüllt:

Ist f = m o g, wobei m ein Epimorphismus ist, dann muss m ein Isomorphismus sein.

Beispiele

Sei f: X -> Y ein Modulhomomorphismus, dann ist f genau dann epimorph, wenn f surjektiv ist.

Sei f: X -> Y ein Ringhomomorphismus und gleichzeitig ein Epimorphismus, dann ist f im allgemeinen nicht surjektiv.

In den Kategorien Set, Grp sind die Epimorphismen genau die extremalen Epimorphismen, und zwar die surjektiven Morphismen.

In der Kategorie Top sind die Epimorphismen die surjektiven stetigen Abbildungen und die extremalen Epimorphismen die Quotientenabbildungen.

In der Kategorie Top₂ der Hausdorffräume sind die extremalen Epimorphismen die gleichen wie in Top, jedoch die Epimorphismen sind die stetigen Abbildungen mit dichtem Bild. Diese Tatsache wird häufig ausgenutzt bei so genannten "Dichteschlüssen": Um zu zeigen, dass zwei stetige Funktionen mit gemeinsamen Definitionsbereich dom (ein Hausdorff-Raum) gleich sind, genügt es zu zeigen, dass sie auf einer dichten Teilmenge D des Definitionsbereichs übereinstimmen. Die Inklusionsabbildung D -> dom ist ein Epimorphismus, woraus die Gleichheit auf dem gesamten Definitionsbereich folgt.

In der Kategorie BanSp₁ sind die Epimorphismen die linearen stetigen Abbildungen mit dichtem Bild (Banachräume sind Hausdorffsch) und die extremalen Epimorphismen sind die surjektiven stetigen linearen Abbildungen.

Epimorphismus in der abstrakten Algebra

In der abstrakten Algebra ist ein Epimorphismus definiert als surjektiver Homomorphismus.

Beispiele

Epimorphismen treten zum Beispiel in einer Form des Homomorphiesatzes auf:

Seien zwei Gruppen G und H gegeben, sowie ein Gruppenhomomorphismus f: G ? H, der surjektiv ist. Der Kern von f sei N. Dann gilt: N ist ein Normalteiler von G und die Faktorgruppe G/N ist isomorph zu H.

Zu jedem Normalteiler N einer Gruppe G gibt es einen kanonischen Epimorphismus p: G ? G/N, der ein Element g von G auf seine Restklasse gN abbildet.

Bekannteste Beispiele für kanonische Epimorphismen sind die Abbildungen, die einer ganzen Zahl ihren Rest bei Division durch eine natürliche Zahl m zuordnet, wobei dieser Rest als Element des Restklassenringes Z/mZ aufgefasst wird.

Die Parallelprojektion ist in der linearen Algebra ein Vektorraum-Homomorphismus, der einen Vektorraum surjektiv auf einen Untervektorraum abbildet.

Ringepimorphismus

Bei Ringen sind die beiden oberen Definitionen nicht verträglich. Betrachten wir die Einbettung der Ganzen Zahlen in die Rationalen Zahlen. Diese ist sicherlich keine surjektive Abbildung und somit im algebraischen Sinne kein Epimorphismus. In der Kategorie der Ringe mit Eins ist er ein Epimorphismus. Dies soll im folgenden gezeigt werden:

Beweisanfang: Wir wollen zeigen, dass i rechtskürzbar ist. Sei R ein beliebiger Ring mit Eins und seien zwei Ringhomomorphismen. Wir nehmen an, dass die Verkettungen a o i und b o i als Funktionen von den ganzen Zahlen nach R die gleichen sind. Das heißt, es gilt a(n) = b(n) für alle ganzen Zahlen n. Seien nun q und p beliebige ganze Zahlen so gilt

a(p/q) = b(1/q)*b(q)*a(p/q) = b(1/q)*a(q)*a(p/q) = b(1/q)*a(p) = b(1/q)*b(p) = b(p/q)

Wir haben somit gezeigt, dass die Abbildugen a und b identisch sind, und somit bewiesen, dass i rechtskürzbar ist. Die Abbildung i ist ein Epimorphismus im kategoriellen Sinne.

Beweisende

Siehe auch: Monomorphismus, Isomorphismus