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Mathematik Begriff Erklärung Elliptische Koordinaten Formel Hilfe Hausaufgabeb
Elliptische Koordinaten

Im elliptischen Koordinatensystem wird ein Punkt durch Angabe der Lage auf konfokalen Ellipsen und Hyperbeln bestimmt.

Bei 2-dimensionalen elliptischen Koordinaten lautet die Umrechnung in kartesische Koordinaten

\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} cosh(u) \cdot cos(v) \\ sinh(u) \cdot sin(v) \end{pmatrix}

u und v sind hier die Koordinaten, a ist ein Parameter des Koordinatensystems. v läuft von 0 bis 2?, u ist nicht beschränkt. Die u-Koordinatenlinien sind Hyperbeln, die v-Koordinatenlinien Ellipsen; für u=0 ist die v-Koordinatenlinie zu einer Strecke von \begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix} bis \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} entartet, für v=0 ist die u-Koordinatenlinie zu einer Halbgerade entartet, der positiven x-Achse ohne der vorher erwähnten Strecke entspricht, für v=? ist die u-Koordinatenlinie die entsprechende Halbgerade auf der negativen x-Achse und für v=?/2 und v=3?/2 ist die u-Koordinatenlinie die y-Achse.

Diese elliptischen Koordinaten können auf verschiedenen Art auf den 3-dimensionalen Raum erweitert werden. Bei zylindrischen elliptischen Koordinaten wird einfach die kartesische z - Koordinate als weitere Koordinate hinzugefügt. Bei polaren elliptischen Koordinaten wird die Ebene um einen Winkel ? gedreht, der dann die zusätzliche Koordinate bildet:

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = a \cdot (cosh(u) \cdot cos(v) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + sinh(u) \cdot sin(v) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ cos(\theta) \\ sin(\theta) \end{pmatrix})

Schließlich gibt es noch räumlich elliptische Koordinaten:

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = a \cdot (cosh(u) \cdot cos(v) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + sinh(u) \cdot sin(v) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ cos(\theta) \\ b \cdot sin(\theta) \end{pmatrix})

Hier ist b ein weiterer Parameter des Koordinatensystems. Die ?-Koordinatenlinien sind hier Ellipsen.

 

Anwendungen

Durch die Transformation auf elliptische Koordinaten kann die Schrödinger-Gleichung für das H2+ - Molekül analytisch gelöst werden.
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