Mathe Genie Lexikon Ellipse (Mathematik) Erklärung Bedeutung und Formel

Ellipse (Mathematik)

Eine Ellipse ist in der Geometrie definiert als die Menge aller Punkte, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den Brennpunkten F₁ und F₂, konstant gleich 2a ist.

$ell = \{X\mid \overline{XF_1} + \overline{XF_2} = 2a\}$

Es ergibt sich folgende Figur:

Ellipse mit Beschriftung und Brennlinien

Die Punkte A und B werden Hauptscheitel genannt, a ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und einem Hauptscheitel. Die Verbindungslinie von A und B heißt Hauptachse. Analog sind C und D die Nebenscheitel, b ihr Abstand vom Mittelpunkt und die Verbindungslinie die Nebenachse. Die Hauptscheitel sind die Punkte mit dem größten Abstand vom Mittelpunkt, die Nebenscheitel diejenigen mit dem kleinsten. Haupt- und Nebenachse sind zu einander orthogonal .

Die Brennpunkte liegen im Abstand e, der linearen Exzentrizität, vom Mittelpunkt auf der Hauptachse. Die numerische Exzentrizität ist ein dimensionsloser Wert, der sich wie folgt ergibt:

$\varepsilon = \frac{e}{a} = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$

Die Verbindungslinien zwischen den Brennpunkten und einem Punkt der Ellipse heißen Brennlinien. Die Brennpunkte erhalten ihren Namen von einer bemerkenswerten Eigenschaft der Ellipse: Stellt man eine Lampe in einen Brennpunkt der Ellipse, werden die ausgesendeten Lichtstrahlen von der Ellipse so reflektiert, dass sie sich im anderen Brennpunkt treffen. Diese Eigenschaft hängt mit der Konstruktion der Tangenten der Ellipse zusammen: Die Tangente in einem Punkt der Ellipse ist eine der Winkelsymmetralen der Brennlinien. Archimedes soll, so will es die Legende, diese Eigenschaft ausgenützt haben um eine Flotte römischer Kriegsschiffe in Brand zu setzen. Mit Schilden baute er einen Teil einer großen Ellipse, in deren einen Brennpunkt er ein Feuer entzündete und in deren anderen Brennpunkt sich ein feindliches Schiff befand.

Die Decken mancher Höhlen ähneln einer Hälfte einer Ellipse. Befindet man sich in einem Brennpunkt dieser Ellipse, hört man jedes Geräusch, dessen Ursprung im zweiten Brennpunkt liegt, stark verstärkt ("Flüstergewölbe").

Zwischen a, b und e gilt laut Satz von Pythagoras der Zusammenhang: a² = b² + e².

Satz von Pythagoras in der Ellipse

Die Ellipse ist ein Kegelschnitt, der entsteht, wenn der Schnittwinkel zwischen Ebene und Kegelachse größer als der Öffnungswinkel des Doppelkegels ist. Der Kreis ist ein Sonderfall der Ellipse.

Zwei Ellipsen mit den selben Brennpunkten, nennt man konfokal.

Eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems liegt und deren Hauptachse mit der x-Achse zusammen fällt, nennt man Ellipse in 1. Hauptlage. In der ebenen analytischen Geometrie kann eine Ellipse in erster Hauptlage mit folgender Gleichung dargestellt werden.

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Gabriel Lamé verallgemeinerte die Ellipse (Lamésche Kurve, Superellipse).

Eine ihrer Anwendungen finden Ellipsen in der Astronomie, zum Beispiel in den Keplerschen Gesetzen. Sie werden auch oft in Grafiken verschiedenster Art verwendet. Österreichern sind sie zum Beispiel im (alten?) ORF-Logo bekannt.

Wendet man die Ellipsendefinition im Raum an oder rotiert man eine Ellipse um ihre Hauptachse, entsteht ein Ellipsoid.

Konstruktion

Ellipsen lassen sich nur punktweise konstruieren, d.h. eine genaue Konstruktion wie zum Beispiel beim Kreis ist unmöglich. Mit Hilfe der Krümmungskreise (siehe unten) und einem Kurvenlineal lässt sich aber auch zeichnerisch ein relativ genaues Bild der Ellipse erstellen. Um aber zum Beispiel eine Gerade exakt mit einer Ellipse schneiden zu können braucht man besondere Konstruktionstechniken, welche die Eigenschaften der Ellipse ausnützen.

Die Ellipse lässt sich am einfachsten zeichnen, wenn die beiden Brennpunkte und die Länge der Hauptachse angegeben ist. Dann kann man einfach einzelne Punkte mittels der Ellipsendefinition konstruieren und diese "verbinden".

Um die Konstruktion zu vereinfachen, kann man zuerst die Scheitelkrümmungskreise bestimmen. Dies sind Kreise, die die Ellipse in der Nähe der Scheitel gut annähern, da sie die selbe Krümmung besitzen wie die Ellipse in den Scheiteln.

Eine Möglichkeit die Ellipse "genau" zu zeichnen ist die so genannte Gärtnerkonstruktion: Um ein ellipsenförmiges Blumenbeet zu erstellen befestigt man eine Schnur mit der Länge 2a an zwei Pflöcken, die in den Brennpunkten stehen. Nun spannt man die Schnur und fährt mit einem Markierungsgerät an ihr entlang. Diese Konstruktion ist natürlich in der klassischen Geometrie nicht erlaubt.

Ellipsenzirkel nach Frans van Schoten aus dem 17. Jahrhundert

Ebenfalls können Ellipsen mit Frans van Schootens Ellipsenzirkel oder darauf beruhenden Nachbauten konstruiert werden. Der Gelenkmechanismus wurde von dem holländischen Mathematiker im 17. Jahrhundert erfunden. Wenn man am Stift in Punkt E zieht, zeichnet dieser eine Ellipse. Der Mechanismus ist an den Brennpunkten H und I auf der Zeichenunterlage befestigt.

Mittels der Ellipsenkonstruktion nach De La Hire (auch Konstruktion nach Proklus) können Ellipsenpunkte konstruiert werden, ohne dass die Brennpunkte angegeben sein müssen. Sind zwei konjugierte Durchmesser angegeben, kann man mit Hilfe der Rytz'schen Achsenkonstruktion die Haupt- und Nebenscheitel (und -achsen) bestimmen.

Formelsammlung

Für eine Ellipse in Mittelpunktslage, große Halbachse längs der x-Achse gilt:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Parameterform:

$\left\{\begin{matrix} x = a \ \cos t \\ y = b \ \sin t \end{matrix}\right. \ , \ 0 \le t \le 2\pi$

Polarform:

$r = \frac{b}{{\sqrt {1 - \varepsilon ^2 \cos ^2 \varphi } }}$

Brennpunkte:

$F_1 = (e,0) \ , \ F_2 = (-e,0) \ , \ e = \sqrt{a^2-b^2}$

Flächeninhalt:

$A=\pi \; a \; b = \pi \; a^2 \; \sqrt{1-\varepsilon^2}$

Umfang:

$U = 4a\int_0^{\pi /2} {\sqrt {1 - \varepsilon ^2 t} } \ dt$

Dieses Integral lässt sich nicht exakt berechnen. Es gibt aber verschiedene Näherungsverfahren:

$U=4a \; E(k) \quad \mbox{mit} \ k:= \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$ E(k) ist Elliptisches Integral

$U=2a \ \pi \left[1 \; - \; \left(\frac{1}{2}\right)^2 \varepsilon^2 \; - \; \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{\varepsilon^4}{3} \; - \; \dots \; - \left(\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \; \dots \; \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \; \dots \; \cdot 2n}\right)^2 \frac{\varepsilon^{2n}}{2n-1} \; - \; \dots \right]$

$U \approx \pi (a+b) \left(1+ \frac{3\lambda^2}{10+\sqrt{4-3\lambda^2}} \right) \ , \quad \lambda = \frac{a-b}{a+b}$ relativer Fehler: $\approx \frac{3\varepsilon^{20}}{2^{36}}$

Weblinks

Formeln zum Ellipsenumfang mit Beispielrechnung (http://www.mathematik-online.de/F57.htm#Ellipse)

Mehrere Links zu Ellipsenzirkeln: [1] (http://members.aol.com/geometrie11/koorgeom/vellipse.html) [2] (http://www.fh-lueneburg.de/u1/gym03/homepage/faecher/mathe/geometri/analytgeo/ellipsenzirkeleuk.htm) [3] (http://home.eduhi.at/teacher/alindner/geonext/geonext/klasse4/ellipse/ell_zirkel_kreis.htm) [4] (http://www.learn-line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/bielefeldproj2/plugin_cin/e_streifenkonstr.htm)

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