Mathe Genie Lexikon Dodekaeder Erklärung Bedeutung und Formel

Dodekaeder

Das Dodekaeder (auch: Pentagondodekaeder) ist ein Polyeder, das aus 12 gleich großen gleichseitigen, gleichwinkligen Fünfecken besteht. Das Dodekaeder hat 20 Ecken, an denen jeweils drei Fünfecke zusammenstoßen, und 30 gleich lange Kanten. Es ist einer der fünf Platonischen Körper.

Neben dem Pentagondodekaeder existieren noch zwei weitere Dodekaeder. Das Rhombendodekaer besteht aus 12 gleich großen Rauten und bildet die typische Kristallform der Granate. Das Trigondodekaeder ist aus 12 gleich großen, gleichseitigen Dreiecken aufgebaut.

Formeln

Wenn man die Kantenlänge des Dodekaeders mit a bezeichnet, findet man folgende Beziehungen:

Volumen: $V=\frac{1}{4} \cdot \left(15+7 \sqrt{5} \right) \cdot a^3 \approx 7.66311896 \cdot a^3$

Oberfläche: $A_O=3a^2 \cdot \sqrt{5 \left( 5+2\sqrt{5} \right)} \approx 20.6457288 \cdot a^2$

Umkugelradius: $r_u=\frac{\sqrt{6}}{4} \sqrt{3 +\sqrt{5}} \cdot a \approx 1.401258538 \cdot a$

Inkugelradius: $r_i=\frac{a}{4} \sqrt{ \frac{50+22\sqrt{5}}{5} } \approx 1.113516364 \cdot a$

Symmetrie

Wenn man die 12 Ecken eines Dodekaeders in geeigneter Weise durch Sechsecke ersetzt, erhält man einen fußballförmigen Körper aus 20 Sechsecken und 12 Fünfecken. Die Fünfecke können auch vollständig überlagert werden, wobei man ein aus 20 Dreiecken bestehendes Ikosaeder erhält. Die Geodätische Kuppel ist eine Form, die auf denselben Fünfecken beruht, diese aber weiter in Dreiecke unterteilt.

Dodekaeder, Fußball und Ikosaeder besitzen somit dieselbe hohe Symmetrie, die in der Punktgruppe des Ikosaeders, der Ikosaedergruppe, zum Ausdruck kommt.

Weblinks

Herleitung der Formeln (http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/dodeka.html)

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