Mathe Genie Lexikon Distribution (Mathematik) Erklärung Bedeutung und Formel

Distribution (Mathematik)

Eine Distribution ist ein Verallgemeinerung einer reellwertigen Funktion. Der Begriff wurde Mitte des 20. Jahrhunderts von Laurent Schwartz geprägt, der für seine Untersuchung von Distributionen die Fields-Medaille erhielt.

Motivation

Entwickelt wurden Distributionen, um gewisse singuläre Objekte der Physik mathematisch behandeln zu können. So ist beispielsweise die Delta-Distribution geeignet, um singuläre Phänomene wie etwa eine Punktmasse mathematisch zu beschreiben: Die räumliche Dichtefunktion eines Massenpunktes mit Einheitsmasse die Eigenschaft, dass sie fast überall verschwindet, außer einem Punkt, an dem sie unendlich wird, da das Raumintegral über die Dichtefunktion 1 ergeben muss (Einheitsmasse). Es gibt keine regulären Funktion, die diese Eigenschaften der Dichte erfüllt, wenn man aber das Integral als Funktional auffasst, kann man die Dichte als Delta-Distribution beschreiben.

Distributionen sind heutzutage ein unentbehrliches Mittel in vielen Gebieten der Mathematik, Physik und Elektrotechnik, zum Beispiel in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen sowie der Fourieranalyse, die wiederum eine prominente Rolle in der Quantenelektrodynamik und der Signalverarbeitung spielen.

Definitionen

Distributionen und Testfunktionen

Eine Distribution D ist eine lineare und stetige Abbildung eines Testfunktionenraums auf die reellen Zahlen (siehe Funktional). Das bedeutet, dass eine Distribution eine Abbildung ist, die jeder Testfunktion eine Zahl zuordnet. Diese Zuordnung muss linear und stetig sein.

Testfunktionen Es gibt zumindest zwei Mengen von Testfunktionen, die häufig auftreten. In der ersten Variante nimmt man als Raum von Testfunktionen alle beliebig oft stetig differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger in einem Gebiet $?$ . Mit einem geeigneten Stetigkeitsbegriff ergibt diese Definition einen lokal-konvexen Raum, den man mit ${\mathcal D}(\Omega)$ bezeichnet:

${\mathcal D}(\Omega) = \{ \phi(x) \in C_0^\infty(\Omega) | {\rm supp} \phi \subset \Omega \}$

Die Menge der Distributionen auf diesen Raum wird mit ${\mathcal D}'(\Omega)$ bezeichnet.

Eine zweite Möglichkeit, Testfunktionen zu definieren sind die sogenannten schnell fallenden Funktionen. Im Unterschied zu den vohergehenden, werden diese meist dann verwendet, wenn Distribution auf unbeschränkten Gebieten benötigt werden. Schnell fallende Funktionen sind unendlich oft differenzierbar und jede ihrer Ableitungen geht im Unendlichen schneller gegen 0 als jedes Polynom. Diese Menge der Testfunktionen wird als ${\mathcal S}(\Omega)$ bezeichnet:

${\mathcal S}(\Omega) = \{ \phi(x) \in C^\infty(R^n) | \forall k \forall \alpha \exists C \sup |D^\alpha \phi(x) x^k | \leq C \}$

Die dadurch definierten Distributionen nennt man temperierte Distributionen und schreibt ${\mathcal S}'(\Omega)$ .

Nach der Definition ordnet eine Distribution jeder Testfunktion eine Zahl zu:

$T: \phi \to T(\phi) =(T,\phi)$

In der letzten Gleichung ist $(T,?)$ einfach eine Schreibweise für den Wert, den die Distribution $?$ zuordnet. Man sagt: Die Distribution D wird auf ? angewendet.

Eine häufige aber falsche Schreibweise ist diejenige, in der $(T,?)$ als Integral mit einer Funktion geschrieben wird:

$(T,\phi) = \int_\R T(t) \phi(t) dt$

Diese Schreibweise ist falsch, weil es nicht immer eine Funktion T(t) gibt, sodass sich $(T,?)$ als Integral darstellen lässt, zum Beispiel die Delta-Distribution ist so ein Fall. In der Praxis kann man diese Falschschreibweise meist leicht korrigieren, indem man aus dem Integalzeichen entsprechend eine Klammer macht. Der Hintergrund für die Integralschreibweise ist der Fakt, dass jede integrierbare Funktion eine Distribution erzeugt. Die Integralschreibweise ist aber deswegen falsch, weil nicht jede Distribution von einer integrierbaren Funkion erzeugt werd. Wie eine reele Funktion eine Distribution definiert ist Teil des nächsten Abschnitts:

Interpretation einer gewöhnlichen Funktion als Distribution

Distributionen sind Verallgemeinerungen von rellen Funktionen im folgenden Sinn: Sei h(t) eine gewöhnliche, auf der gesamten reellen Achse definierte, stückweise stetige Funktion und ? eine Testfunktion, so dass

$\int_{-\infty}^{\infty} h(t) \phi (t) dt$

existiert. Dann ist durch

$[h(t)] : \phi (t) \to \int_{-\infty}^{\infty} h(t) \phi (t) dt =: [h(t)](\phi(t))$

eine Distribution [h(t)] definiert. Eine solche Funktion h(t) ist eindeutig (bis auf eine Nullmenge) durch die von ihr erzeugte Distribution [h(t)] festgelegt. Distributionen, die aus regulären Funktionen entstanden sind, werden regulär genannt.

Diese Erkenntnis ist der Kern der Bedeutung von Distributionen. In manchen Rechnungen mit "gewöhnlichen Funktionen" treten Singularitäten auf. Interpretiert man eine solche Funktion als Distribution, kann man trotz Singularitäten ohne Probleme weiterrechnen.

Die Delta-Distribution

Die Delta-Distribution ist eine irreguläre Distribution, sie kann nicht durch eine gewöhnliche Funktion aufgefasst werden. Es gilt:

?(?(t)) = ?(0)

Sprich: Die Delta-Distribution angewendet auf eine Testfunktion ? ergibt die Testfunktion an der Stelle 0.

Stauchung und Verschiebung

Sei D eine beliebige Distribution, so ist

$D( \frac {t-t_0} {T} ) := |T| D(t)(\phi (tT+t_0))$

Für die Delta-Distribution (siehe oben) gilt somit:

$\delta( \frac {t-t_0} {T} ) (\phi(t)) = |T| \phi (t_0)$

Ableitungen von Distributionen

Für einen Testfunktionenraum mit mindestens n-fach differenzierbaren Funktionen und eine beliebige Distribution D ist definiert:

$D^{(n)}(t) (\phi(t)) = \frac {d D(t)} {dt} (\phi(t)) = D (t) ((-1)^n \frac {d\phi}{dt}(t))$

$D (n) (t)$ wird n-fache Ableitung der Distribution D(t) genannt.

Für die Delta-Distribution (siehe oben) gilt somit:

$\delta^{(n)}(t) (\phi(t)) = \delta (t) ((-1)^n \frac {d\phi}{dt}(t)) = (-1)^n \frac {d\phi}{dt}(0)$

Dieser Artikel ( Distribution (Mathematik) ) stammt aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
und steht unter der GNU Free Documentation Licence.