Mathe Genie Lexikon Distanzfunktion Erklärung Bedeutung und Formel

Distanzfunktion

Distanzfunktionen oder Ähnlichkeitsmaße beschreiben den Grad der Übereinstimmung von Vektoren.

In typischen Anwendungen stellen die Vektoren Folgen von Messwerten dar. Ähnlichkeitsmaße werden in Auswertemethoden wie dem Vektorraum-Retrieval und dem Clustering benutzt.

Als Distanzfunktion lassen sich verschiedene Metriken verwenden. Distanzfunktionen werden oft auch unpräzise als Metrik bezeichnet; nicht alle Distanzfunktionen sind jedoch Metriken im streng mathematischen Sinne.

Inhaltsverzeichnis

1 Häufig verwendete Distanzfunktionen

1.1 Euklidischer Abstand
1.2 City-Block- bzw. Manhattan-Distanz
1.3 Cosinus-Distanzfunktion
1.4 Dice-Distanzfunktion
1.5 Jaccard- (oder Tanimoto)-Distanzfunktion
1.6 Mahalanobis-Distanz

Häufig verwendete Distanzfunktionen

Euklidischer Abstand

$d(x,y) = |x-y| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}$

City-Block- bzw. Manhattan-Distanz

$d(x,y) = \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|$

Siehe auch: Normierter Raum

Cosinus-Distanzfunktion

Es wird vorausgesetzt, dass wir einen Vektorraum über den reellen Zahlen haben.

Die Distanz ist der Cosinus des Winkels zwischen den Vektoren

$d(x,y) = \cos \alpha(x,y) = \frac{x\cdot y}{|x| |y|} = \frac {\sum_{i=1}^n x_i y_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2}}$

Dabei ist $|x| = \|x\|_2$ .

Dice-Distanzfunktion

$d(x,y) = \frac {2 x \cdot y}{ x^2 + y^2 } = \frac {2 \sum_{i=1}^n x_i y_i} {\sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1}^n y_i^2}$

Dabei ist $x^2 = x \cdot x = \langle x, x \rangle$ .

Jaccard- (oder Tanimoto)-Distanzfunktion

$d(x,y) = \frac {x \cdot y}{ x^2 + y^2 - x \cdot y} = \frac {\sum_{i=1}^n x_i y_i} {\sum_{i=1}^n x_i^2 + \sum_{i=1}^n y_i^2 - \sum_{i=1}^n x_i y_i}$

Mahalanobis-Distanz

Dieser Artikel ( Distanzfunktion ) stammt aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
und steht unter der GNU Free Documentation Licence.