Mathe Genie Lexikon Direkte Verfahren Erklärung Bedeutung und Formel

Direkte Verfahren

Direkte Verfahren sind Methoden zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Die Koeffizienten $a i j$ der Gleichungen

$a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + ...\ a_{in}x_n = b_i \qquad a_{ij}\in\mathbb{R} \wedge b_i\in\mathbb{R},i,j\in\{1,...,n\}$

werden dabei in einer Matrix $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ und die rechten Seiten $b i$ in einem Vektor $b\in\mathbb{R}^{n}$ gespeichert. Die Aufgabe besteht nun darin, die Matrix so umzuformen, dass die Gesuchte also $x:=x_j\in\mathbb{R}^{n}$ möglichst einfach auszurechnen ist. Dies ist der Fall, wenn durch diese Operationen A in eine obere Dreiecksmatrix umgeformt worden ist, das heißt alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen (das sind die $a i i$ ) sind gleich null. Das erreicht man auf verschiedenen Wegen.

Beim Gaußschen Eliminationsverfahren werden dazu A und b mit einer Matrix L mulitpliziert, die folgendermaßen aussieht:

$L=l_{ij}=a_{ij}/a_{jj} \qquad falls \quad j\le i,\quad l_{ij}=0 \quad sonst. \quad L\cdot A$ hat dann Diagonalgestalt und die $x j$ können dann von j=n bis j=1 aus $L\cdot A x=L\cdot b$ rückwärts ausgerechnet werden.

Weitere direkte Verfahren sind das Householderverfahren bei dem die zu multiplizierende Matrix $L$ orthogonal ist, oder das Verfahren durch Givens-Rotationen, bei dem die Nullen dadurch erzeugt werden, dass Vektoren in einem zweidimensionalen Unterraum des $\mathbb{R}^n$ gedreht werden, so dass immer eine Komponente Null wird.

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